Precálculo Ejemplos

$\log_{b} (\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{y^{4} z^{7}}})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{y^{4} z^{7}}}$ como ${(\frac{x^{2}}{y^{4} z^{7}})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{2}}{y^{4} z^{7}})}^{\frac{1}{3}})$

Paso 2

Expande $\log_{b} ({(\frac{x^{2}}{y^{4} z^{7}})}^{\frac{1}{3}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{3}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{3} \log_{b} (\frac{x^{2}}{y^{4} z^{7}})$

Paso 3

Reescribe $\log_{b} (\frac{x^{2}}{y^{4} z^{7}})$ como $\log_{b} (x^{2}) - \log_{b} (y^{4} z^{7})$ .

$\frac{1}{3} (\log_{b} (x^{2}) - \log_{b} (y^{4} z^{7}))$

Paso 4

Expande $\log_{b} (x^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{3} (2 \log_{b} (x) - \log_{b} (y^{4} z^{7}))$

Paso 5

Reescribe $\log_{b} (y^{4} z^{7})$ como $\log_{b} (y^{4}) + \log_{b} (z^{7})$ .

$\frac{1}{3} (2 \log_{b} (x) - (\log_{b} (y^{4}) + \log_{b} (z^{7})))$

Paso 6

Expande $\log_{b} (y^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{3} (2 \log_{b} (x) - (4 \log_{b} (y) + \log_{b} (z^{7})))$

Paso 7

Expande $\log_{b} (z^{7})$ ; para ello, mueve $7$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{3} (2 \log_{b} (x) - (4 \log_{b} (y) + 7 \log_{b} (z)))$

Paso 8

Simplifica cada término.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} (2 \log_{b} (x) - (4 \log_{b} (y)) - (7 \log_{b} (z)))$

Paso 8.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (2 \log_{b} (x) - 4 \log_{b} (y) - (7 \log_{b} (z)))$

Paso 8.3

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (2 \log_{b} (x) - 4 \log_{b} (y) - 7 \log_{b} (z))$

Paso 9

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} (2 \log_{b} (x)) + \frac{1}{3} (- 4 \log_{b} (y)) + \frac{1}{3} (- 7 \log_{b} (z))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{1}{3} (2 \log_{b} (x))$ .

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Paso 10.1.1

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} \log_{b} (x) + \frac{1}{3} (- 4 \log_{b} (y)) + \frac{1}{3} (- 7 \log_{b} (z))$

Paso 10.1.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $\log_{b} (x)$ .

$\frac{2 \log_{b} (x)}{3} + \frac{1}{3} (- 4 \log_{b} (y)) + \frac{1}{3} (- 7 \log_{b} (z))$

Paso 10.2

Multiplica $\frac{1}{3} (- 4 \log_{b} (y))$ .

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Paso 10.2.1

Combina $- 4$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2 \log_{b} (x)}{3} + \frac{- 4}{3} \log_{b} (y) + \frac{1}{3} (- 7 \log_{b} (z))$

Paso 10.2.2

Combina $\frac{- 4}{3}$ y $\log_{b} (y)$ .

$\frac{2 \log_{b} (x)}{3} + \frac{- 4 \log_{b} (y)}{3} + \frac{1}{3} (- 7 \log_{b} (z))$

Paso 10.3

Multiplica $\frac{1}{3} (- 7 \log_{b} (z))$ .

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Paso 10.3.1

Combina $- 7$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2 \log_{b} (x)}{3} + \frac{- 4 \log_{b} (y)}{3} + \frac{- 7}{3} \log_{b} (z)$

Paso 10.3.2

Combina $\frac{- 7}{3}$ y $\log_{b} (z)$ .

$\frac{2 \log_{b} (x)}{3} + \frac{- 4 \log_{b} (y)}{3} + \frac{- 7 \log_{b} (z)}{3}$

Paso 11

Simplifica cada término.

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Paso 11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 \log_{b} (x)}{3} - \frac{4 \log_{b} (y)}{3} + \frac{- 7 \log_{b} (z)}{3}$

Paso 11.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 \log_{b} (x)}{3} - \frac{4 \log_{b} (y)}{3} - \frac{7 \log_{b} (z)}{3}$