Precálculo Ejemplos

$\log_{x} (\sqrt{\frac{x^{4} y^{6}}{z^{8}}})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{x^{4} y^{6}}{z^{8}}}$ como ${(\frac{x^{4} y^{6}}{z^{8}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{x} ({(\frac{x^{4} y^{6}}{z^{8}})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 2

Expande $\log_{x} ({(\frac{x^{4} y^{6}}{z^{8}})}^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} \log_{x} (\frac{x^{4} y^{6}}{z^{8}})$

Paso 3

Reescribe $\log_{x} (\frac{x^{4} y^{6}}{z^{8}})$ como $\log_{x} (x^{4} y^{6}) - \log_{x} (z^{8})$ .

$\frac{1}{2} (\log_{x} (x^{4} y^{6}) - \log_{x} (z^{8}))$

Paso 4

Expande $\log_{x} (z^{8})$ ; para ello, mueve $8$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} (\log_{x} (x^{4} y^{6}) - (8 \log_{x} (z)))$

Paso 5

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\log_{x} (x^{4} y^{6}) - 8 \log_{x} (z))$

Paso 6

Reescribe $\log_{x} (x^{4} y^{6})$ como $\log_{x} (x^{4}) + \log_{x} (y^{6})$ .

$\frac{1}{2} (\log_{x} (x^{4}) + \log_{x} (y^{6}) - 8 \log_{x} (z))$

Paso 7

Expande $\log_{x} (x^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} (4 \log_{x} (x) + \log_{x} (y^{6}) - 8 \log_{x} (z))$

Paso 8

Expande $\log_{x} (y^{6})$ ; para ello, mueve $6$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} (4 \log_{x} (x) + 6 \log_{x} (y) - 8 \log_{x} (z))$

Paso 9

El logaritmo en base $x$ de $x$ es $1$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 1 + 6 \log_{x} (y) - 8 \log_{x} (z))$

Paso 10

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (4 + 6 \log_{x} (y) - 8 \log_{x} (z))$

Paso 11

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot 4 + \frac{1}{2} (6 \log_{x} (y)) + \frac{1}{2} (- 8 \log_{x} (z))$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (2)) + \frac{1}{2} (6 \log_{x} (y)) + \frac{1}{2} (- 8 \log_{x} (z))$

Paso 12.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + \frac{1}{2} (6 \log_{x} (y)) + \frac{1}{2} (- 8 \log_{x} (z))$

Paso 12.1.3

Reescribe la expresión.

$2 + \frac{1}{2} (6 \log_{x} (y)) + \frac{1}{2} (- 8 \log_{x} (z))$

Paso 12.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.2.1

Factoriza $2$ de $6 \log_{x} (y)$ .

$2 + \frac{1}{2} (2 (3 \log_{x} (y))) + \frac{1}{2} (- 8 \log_{x} (z))$

Paso 12.2.2

Cancela el factor común.

$2 + \frac{1}{2} (2 (3 \log_{x} (y))) + \frac{1}{2} (- 8 \log_{x} (z))$

Paso 12.2.3

Reescribe la expresión.

$2 + 3 \log_{x} (y) + \frac{1}{2} (- 8 \log_{x} (z))$

Paso 12.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.3.1

Factoriza $2$ de $- 8 \log_{x} (z)$ .

$2 + 3 \log_{x} (y) + \frac{1}{2} (2 (- 4 \log_{x} (z)))$

Paso 12.3.2

Cancela el factor común.

$2 + 3 \log_{x} (y) + \frac{1}{2} (2 (- 4 \log_{x} (z)))$

Paso 12.3.3

Reescribe la expresión.

$2 + 3 \log_{x} (y) - 4 \log_{x} (z)$