Precálculo Ejemplos

$\ln (\frac{x^{8} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 1

Reescribe $\ln (\frac{x^{8} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x + 1)}^{2}})$ como $\ln (x^{8} \sqrt{x^{2} + 1}) - \ln ({(x + 1)}^{2})$ .

$\ln (x^{8} \sqrt{x^{2} + 1}) - \ln ({(x + 1)}^{2})$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x^{8} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({(x + 1)}^{2})$

Paso 3

Expande $\ln ({(x + 1)}^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\ln (x^{8} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (x + 1))$

Paso 4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (x^{8} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (x + 1)$

Paso 5

Reescribe $\ln (x^{8} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ como $\ln (x^{8}) + \ln ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\ln (x^{8}) + \ln ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (x + 1)$

Paso 6

Expande $\ln (x^{8})$ ; para ello, mueve $8$ fuera del logaritmo.

$8 \ln (x) + \ln ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (x + 1)$

Paso 7

Expande $\ln ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$8 \ln (x) + \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) - 2 \ln (x + 1)$

Paso 8

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (x^{2} + 1)$ .

$8 \ln (x) + \frac{\ln (x^{2} + 1)}{2} - 2 \ln (x + 1)$

Paso 9

Para escribir $8 \ln (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$8 \ln (x) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (x^{2} + 1)}{2} - 2 \ln (x + 1)$

Paso 10

Combina $8 \ln (x)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8 \ln (x) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (x^{2} + 1)}{2} - 2 \ln (x + 1)$

Paso 11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 \ln (x) \cdot 2 + \ln (x^{2} + 1)}{2} - 2 \ln (x + 1)$

Paso 12

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{16 \ln (x) + \ln (x^{2} + 1)}{2} - 2 \ln (x + 1)$

Paso 13

Para escribir $- 2 \ln (x + 1)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{16 \ln (x) + \ln (x^{2} + 1)}{2} - 2 \ln (x + 1) \cdot \frac{2}{2}$

Paso 14

Combina $- 2 \ln (x + 1)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{16 \ln (x) + \ln (x^{2} + 1)}{2} + \frac{- 2 \ln (x + 1) \cdot 2}{2}$

Paso 15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{16 \ln (x) + \ln (x^{2} + 1) - 2 \ln (x + 1) \cdot 2}{2}$

Paso 16

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{16 \ln (x) + \ln (x^{2} + 1) - 4 \ln (x + 1)}{2}$