Precálculo Ejemplos

$\ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \sqrt{1 + x^{2}}})$

Paso 1

Reescribe $\ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \sqrt{1 + x^{2}}})$ como $\ln (x^{\frac{1}{2}}) - \ln (x^{2} \sqrt{1 + x^{2}})$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}}) - \ln (x^{2} \sqrt{1 + x^{2}})$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}}) - \ln (x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

Expande $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} \ln (x) - \ln (x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 4

Reescribe $\ln (x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ como $\ln (x^{2}) + \ln ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{1}{2} \ln (x) - (\ln (x^{2}) + \ln ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Paso 5

Expande $\ln (x^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} \ln (x) - (2 \ln (x) + \ln ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Paso 6

Expande $\ln ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} \ln (x) - (2 \ln (x) + \frac{1}{2} \ln (1 + x^{2}))$

Paso 7

Simplifica cada término.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{2} - (2 \ln (x) + \frac{1}{2} \ln (1 + x^{2}))$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (1 + x^{2})$ .

$\frac{\ln (x)}{2} - (2 \ln (x) + \frac{\ln (1 + x^{2})}{2})$

Paso 7.3

Para escribir $2 \ln (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x)}{2} - (2 \ln (x) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (1 + x^{2})}{2})$

Paso 7.4

Combina $2 \ln (x)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x)}{2} - (\frac{2 \ln (x) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (1 + x^{2})}{2})$

Paso 7.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (x)}{2} - \frac{2 \ln (x) \cdot 2 + \ln (1 + x^{2})}{2}$

Paso 7.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\ln (x)}{2} - \frac{4 \ln (x) + \ln (1 + x^{2})}{2}$