Precálculo Ejemplos

$\ln (\frac{\sqrt[5]{x} {(3 x + 1)}^{4}}{3 (x - 2) e^{5 x - 7}})$

Paso 1

Reescribe $\ln (\frac{\sqrt[5]{x} {(3 x + 1)}^{4}}{3 (x - 2) e^{5 x - 7}})$ como $\ln (\sqrt[5]{x} {(3 x + 1)}^{4}) - \ln (3 (x - 2) e^{5 x - 7})$ .

$\ln (\sqrt[5]{x} {(3 x + 1)}^{4}) - \ln (3 (x - 2) e^{5 x - 7})$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{x}$ como $x^{\frac{1}{5}}$ .

$\ln (x^{\frac{1}{5}} {(3 x + 1)}^{4}) - \ln (3 (x - 2) e^{5 x - 7})$

Paso 3

Reescribe $\ln (x^{\frac{1}{5}} {(3 x + 1)}^{4})$ como $\ln (x^{\frac{1}{5}}) + \ln ({(3 x + 1)}^{4})$ .

$\ln (x^{\frac{1}{5}}) + \ln ({(3 x + 1)}^{4}) - \ln (3 (x - 2) e^{5 x - 7})$

Paso 4

Expande $\ln (x^{\frac{1}{5}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{5}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{5} \ln (x) + \ln ({(3 x + 1)}^{4}) - \ln (3 (x - 2) e^{5 x - 7})$

Paso 5

Expande $\ln ({(3 x + 1)}^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{5} \ln (x) + 4 \ln (3 x + 1) - \ln (3 (x - 2) e^{5 x - 7})$

Paso 6

Reescribe $\ln (3 (x - 2) e^{5 x - 7})$ como $\ln (3 (x - 2)) + \ln (e^{5 x - 7})$ .

$\frac{1}{5} \ln (x) + 4 \ln (3 x + 1) - (\ln (3 (x - 2)) + \ln (e^{5 x - 7}))$

Paso 7

Reescribe $\ln (3 (x - 2))$ como $\ln (3) + \ln (x - 2)$ .

$\frac{1}{5} \ln (x) + 4 \ln (3 x + 1) - (\ln (3) + \ln (x - 2) + \ln (e^{5 x - 7}))$

Paso 8

Expande $\ln (e^{5 x - 7})$ ; para ello, mueve $5 x - 7$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{5} \ln (x) + 4 \ln (3 x + 1) - (\ln (3) + \ln (x - 2) + (5 x - 7) \ln (e))$

Paso 9

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\frac{1}{5} \ln (x) + 4 \ln (3 x + 1) - (\ln (3) + \ln (x - 2) + (5 x - 7) \cdot 1)$

Paso 10

Multiplica $5 x - 7$ por $1$ .

$\frac{1}{5} \ln (x) + 4 \ln (3 x + 1) - (\ln (3) + \ln (x - 2) + 5 x - 7)$

Paso 11

Simplifica cada término.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{5} + 4 \ln (3 x + 1) - (\ln (3) + \ln (x - 2) + 5 x - 7)$

Paso 11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\ln (x)}{5} + 4 \ln (3 x + 1) - \ln (3) - \ln (x - 2) - (5 x) - - 7$

Paso 11.3

Simplifica.

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Paso 11.3.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{\ln (x)}{5} + 4 \ln (3 x + 1) - \ln (3) - \ln (x - 2) - 5 x - - 7$

Paso 11.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$\frac{\ln (x)}{5} + 4 \ln (3 x + 1) - \ln (3) - \ln (x - 2) - 5 x + 7$

Paso 12

Para escribir $4 \ln (3 x + 1)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\ln (x)}{5} + 4 \ln (3 x + 1) \cdot \frac{5}{5} - \ln (3) - \ln (x - 2) - 5 x + 7$

Paso 13

Combina $4 \ln (3 x + 1)$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\ln (x)}{5} + \frac{4 \ln (3 x + 1) \cdot 5}{5} - \ln (3) - \ln (x - 2) - 5 x + 7$

Paso 14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (x) + 4 \ln (3 x + 1) \cdot 5}{5} - \ln (3) - \ln (x - 2) - 5 x + 7$

Paso 15

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{\ln (x) + 20 \ln (3 x + 1)}{5} - \ln (3) - \ln (x - 2) - 5 x + 7$

Paso 16

Para escribir $- \ln (x - 2)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\ln (x) + 20 \ln (3 x + 1)}{5} - \ln (x - 2) \cdot \frac{5}{5} - \ln (3) - 5 x + 7$

Paso 17

Combina $- \ln (x - 2)$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\ln (x) + 20 \ln (3 x + 1)}{5} + \frac{- \ln (x - 2) \cdot 5}{5} - \ln (3) - 5 x + 7$

Paso 18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (x) + 20 \ln (3 x + 1) - \ln (x - 2) \cdot 5}{5} - \ln (3) - 5 x + 7$

Paso 19

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{\ln (x) + 20 \ln (3 x + 1) - 5 \ln (x - 2)}{5} - \ln (3) - 5 x + 7$