Precálculo Ejemplos

$\ln (\frac{x^{2} \sqrt[4]{{(x - 1)}^{3}}}{{(x + 16)}^{3} \sqrt[5]{2 - x}})$

Paso 1

Reescribe $\ln (\frac{x^{2} \sqrt[4]{{(x - 1)}^{3}}}{{(x + 16)}^{3} \sqrt[5]{2 - x}})$ como $\ln (x^{2} \sqrt[4]{{(x - 1)}^{3}}) - \ln ({(x + 16)}^{3} \sqrt[5]{2 - x})$ .

$\ln (x^{2} \sqrt[4]{{(x - 1)}^{3}}) - \ln ({(x + 16)}^{3} \sqrt[5]{2 - x})$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{{(x - 1)}^{3}}$ como ${(x - 1)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\ln (x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{4}}) - \ln ({(x + 16)}^{3} \sqrt[5]{2 - x})$

Paso 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{2 - x}$ como ${(2 - x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\ln (x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{4}}) - \ln ({(x + 16)}^{3} {(2 - x)}^{\frac{1}{5}})$

Paso 4

Reescribe $\ln (x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{4}})$ como $\ln (x^{2}) + \ln ({(x - 1)}^{\frac{3}{4}})$ .

$\ln (x^{2}) + \ln ({(x - 1)}^{\frac{3}{4}}) - \ln ({(x + 16)}^{3} {(2 - x)}^{\frac{1}{5}})$

Paso 5

Expande $\ln (x^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$2 \ln (x) + \ln ({(x - 1)}^{\frac{3}{4}}) - \ln ({(x + 16)}^{3} {(2 - x)}^{\frac{1}{5}})$

Paso 6

Expande $\ln ({(x - 1)}^{\frac{3}{4}})$ ; para ello, mueve $\frac{3}{4}$ fuera del logaritmo.

$2 \ln (x) + \frac{3}{4} \ln (x - 1) - \ln ({(x + 16)}^{3} {(2 - x)}^{\frac{1}{5}})$

Paso 7

Reescribe $\ln ({(x + 16)}^{3} {(2 - x)}^{\frac{1}{5}})$ como $\ln ({(x + 16)}^{3}) + \ln ({(2 - x)}^{\frac{1}{5}})$ .

$2 \ln (x) + \frac{3}{4} \ln (x - 1) - (\ln ({(x + 16)}^{3}) + \ln ({(2 - x)}^{\frac{1}{5}}))$

Paso 8

Expande $\ln ({(x + 16)}^{3})$ ; para ello, mueve $3$ fuera del logaritmo.

$2 \ln (x) + \frac{3}{4} \ln (x - 1) - (3 \ln (x + 16) + \ln ({(2 - x)}^{\frac{1}{5}}))$

Paso 9

Expande $\ln ({(2 - x)}^{\frac{1}{5}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{5}$ fuera del logaritmo.

$2 \ln (x) + \frac{3}{4} \ln (x - 1) - (3 \ln (x + 16) + \frac{1}{5} \ln (2 - x))$

Paso 10

Simplifica cada término.

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Paso 10.1

Combina $\frac{3}{4}$ y $\ln (x - 1)$ .

$2 \ln (x) + \frac{3 \ln (x - 1)}{4} - (3 \ln (x + 16) + \frac{1}{5} \ln (2 - x))$

Paso 10.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $\ln (2 - x)$ .

$2 \ln (x) + \frac{3 \ln (x - 1)}{4} - (3 \ln (x + 16) + \frac{\ln (2 - x)}{5})$

Paso 10.3

Para escribir $3 \ln (x + 16)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$2 \ln (x) + \frac{3 \ln (x - 1)}{4} - (3 \ln (x + 16) \cdot \frac{5}{5} + \frac{\ln (2 - x)}{5})$

Paso 10.4

Combina $3 \ln (x + 16)$ y $\frac{5}{5}$ .

$2 \ln (x) + \frac{3 \ln (x - 1)}{4} - (\frac{3 \ln (x + 16) \cdot 5}{5} + \frac{\ln (2 - x)}{5})$

Paso 10.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \ln (x) + \frac{3 \ln (x - 1)}{4} - \frac{3 \ln (x + 16) \cdot 5 + \ln (2 - x)}{5}$

Paso 10.6

Multiplica $5$ por $3$ .

$2 \ln (x) + \frac{3 \ln (x - 1)}{4} - \frac{15 \ln (x + 16) + \ln (2 - x)}{5}$

Paso 11

Para escribir $2 \ln (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$2 \ln (x) \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 \ln (x - 1)}{4} - \frac{15 \ln (x + 16) + \ln (2 - x)}{5}$

Paso 12

Combina $2 \ln (x)$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 \ln (x) \cdot 4}{4} + \frac{3 \ln (x - 1)}{4} - \frac{15 \ln (x + 16) + \ln (2 - x)}{5}$

Paso 13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \ln (x) \cdot 4 + 3 \ln (x - 1)}{4} - \frac{15 \ln (x + 16) + \ln (2 - x)}{5}$

Paso 14

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 \ln (x) + 3 \ln (x - 1)}{4} - \frac{15 \ln (x + 16) + \ln (2 - x)}{5}$