Precálculo Ejemplos

$\ln (\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x^{4} {(2 x - 1)}^{3}})$

Paso 1

Reescribe $\ln (\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x^{4} {(2 x - 1)}^{3}})$ como $\ln (\sqrt{x^{2} + 1}) - \ln (x^{4} {(2 x - 1)}^{3})$ .

$\ln (\sqrt{x^{2} + 1}) - \ln (x^{4} {(2 x - 1)}^{3})$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (x^{4} {(2 x - 1)}^{3})$

Paso 3

Expande $\ln ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) - \ln (x^{4} {(2 x - 1)}^{3})$

Paso 4

Reescribe $\ln (x^{4} {(2 x - 1)}^{3})$ como $\ln (x^{4}) + \ln ({(2 x - 1)}^{3})$ .

$\frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) - (\ln (x^{4}) + \ln ({(2 x - 1)}^{3}))$

Paso 5

Expande $\ln (x^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) - (4 \ln (x) + \ln ({(2 x - 1)}^{3}))$

Paso 6

Expande $\ln ({(2 x - 1)}^{3})$ ; para ello, mueve $3$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) - (4 \ln (x) + 3 \ln (2 x - 1))$

Paso 7

Simplifica cada término.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (x^{2} + 1)$ .

$\frac{\ln (x^{2} + 1)}{2} - (4 \ln (x) + 3 \ln (2 x - 1))$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\ln (x^{2} + 1)}{2} - (4 \ln (x)) - (3 \ln (2 x - 1))$

Paso 7.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{\ln (x^{2} + 1)}{2} - 4 \ln (x) - (3 \ln (2 x - 1))$

Paso 7.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{\ln (x^{2} + 1)}{2} - 4 \ln (x) - 3 \ln (2 x - 1)$

Paso 8

Para escribir $- 4 \ln (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x^{2} + 1)}{2} - 4 \ln (x) \cdot \frac{2}{2} - 3 \ln (2 x - 1)$

Paso 9

Combina $- 4 \ln (x)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x^{2} + 1)}{2} + \frac{- 4 \ln (x) \cdot 2}{2} - 3 \ln (2 x - 1)$

Paso 10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (x^{2} + 1) - 4 \ln (x) \cdot 2}{2} - 3 \ln (2 x - 1)$

Paso 11

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$\frac{\ln (x^{2} + 1) - 8 \ln (x)}{2} - 3 \ln (2 x - 1)$

Paso 12

Para escribir $- 3 \ln (2 x - 1)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x^{2} + 1) - 8 \ln (x)}{2} - 3 \ln (2 x - 1) \cdot \frac{2}{2}$

Paso 13

Combina $- 3 \ln (2 x - 1)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x^{2} + 1) - 8 \ln (x)}{2} + \frac{- 3 \ln (2 x - 1) \cdot 2}{2}$

Paso 14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (x^{2} + 1) - 8 \ln (x) - 3 \ln (2 x - 1) \cdot 2}{2}$

Paso 15

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{\ln (x^{2} + 1) - 8 \ln (x) - 6 \ln (2 x - 1)}{2}$