Precálculo Ejemplos

$\ln (\frac{6 x \sqrt{1 + 2 x}}{x - 6})$

Paso 1

Reescribe $\ln (\frac{6 x \sqrt{1 + 2 x}}{x - 6})$ como $\ln (6 x \sqrt{1 + 2 x}) - \ln (x - 6)$ .

$\ln (6 x \sqrt{1 + 2 x}) - \ln (x - 6)$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + 2 x}$ como ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (6 x {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (x - 6)$

Paso 3

Reescribe $\ln (6 x {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})$ como $\ln (6 x) + \ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\ln (6 x) + \ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (x - 6)$

Paso 4

Reescribe $\ln (6 x)$ como $\ln (6) + \ln (x)$ .

$\ln (6) + \ln (x) + \ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (x - 6)$

Paso 5

Expande $\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\ln (6) + \ln (x) + \frac{1}{2} \ln (1 + 2 x) - \ln (x - 6)$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Reescribe $\ln (6)$ como $\ln (2 (3))$ .

$\ln (2 (3)) + \ln (x) + \frac{1}{2} \ln (1 + 2 x) - \ln (x - 6)$

Paso 6.2

Reescribe $\ln (2 (3))$ como $\ln (2) + \ln (3)$ .

$\ln (2) + \ln (3) + \ln (x) + \frac{1}{2} \ln (1 + 2 x) - \ln (x - 6)$

Paso 6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (1 + 2 x)$ .

$\ln (2) + \ln (3) + \ln (x) + \frac{\ln (1 + 2 x)}{2} - \ln (x - 6)$

Paso 7

Para escribir $\ln (2)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (1 + 2 x)}{2} + \ln (3) + \ln (x) - \ln (x - 6)$

Paso 8

Combina $\ln (2)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (2) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (1 + 2 x)}{2} + \ln (3) + \ln (x) - \ln (x - 6)$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (2) \cdot 2 + \ln (1 + 2 x)}{2} + \ln (3) + \ln (x) - \ln (x - 6)$

Paso 10

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (2)$ .

$\frac{2 \ln (2) + \ln (1 + 2 x)}{2} + \ln (3) + \ln (x) - \ln (x - 6)$

Paso 11

Para escribir $- \ln (x - 6)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \ln (2) + \ln (1 + 2 x)}{2} - \ln (x - 6) \cdot \frac{2}{2} + \ln (3) + \ln (x)$

Paso 12

Combina $- \ln (x - 6)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \ln (2) + \ln (1 + 2 x)}{2} + \frac{- \ln (x - 6) \cdot 2}{2} + \ln (3) + \ln (x)$

Paso 13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \ln (2) + \ln (1 + 2 x) - \ln (x - 6) \cdot 2}{2} + \ln (3) + \ln (x)$

Paso 14

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 \ln (2) + \ln (1 + 2 x) - 2 \ln (x - 6)}{2} + \ln (3) + \ln (x)$