Precálculo Ejemplos

$\ln (\frac{\sqrt[3]{x^{4} - 81}}{(x + 16) \sqrt{x - 3}})$

Paso 1

Reescribe $\ln (\frac{\sqrt[3]{x^{4} - 81}}{(x + 16) \sqrt{x - 3}})$ como $\ln (\sqrt[3]{x^{4} - 81}) - \ln ((x + 16) \sqrt{x - 3})$ .

$\ln (\sqrt[3]{x^{4} - 81}) - \ln ((x + 16) \sqrt{x - 3})$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{4} - 81}$ como ${(x^{4} - 81)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln ({(x^{4} - 81)}^{\frac{1}{3}}) - \ln ((x + 16) \sqrt{x - 3})$

Paso 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 3}$ como ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln ({(x^{4} - 81)}^{\frac{1}{3}}) - \ln ((x + 16) {(x - 3)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 4

Expande $\ln ({(x^{4} - 81)}^{\frac{1}{3}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{3}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{3} \ln (x^{4} - 81) - \ln ((x + 16) {(x - 3)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5

Reescribe $\ln ((x + 16) {(x - 3)}^{\frac{1}{2}})$ como $\ln (x + 16) + \ln ({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{1}{3} \ln (x^{4} - 81) - (\ln (x + 16) + \ln ({(x - 3)}^{\frac{1}{2}}))$

Paso 6

Expande $\ln ({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{3} \ln (x^{4} - 81) - (\ln (x + 16) + \frac{1}{2} \ln (x - 3))$

Paso 7

Simplifica cada término.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\ln (x^{4} - 81)$ .

$\frac{\ln (x^{4} - 81)}{3} - (\ln (x + 16) + \frac{1}{2} \ln (x - 3))$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (x - 3)$ .

$\frac{\ln (x^{4} - 81)}{3} - (\ln (x + 16) + \frac{\ln (x - 3)}{2})$

Paso 7.3

Para escribir $\ln (x + 16)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x^{4} - 81)}{3} - (\ln (x + 16) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (x - 3)}{2})$

Paso 7.4

Combina $\ln (x + 16)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x^{4} - 81)}{3} - (\frac{\ln (x + 16) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (x - 3)}{2})$

Paso 7.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (x^{4} - 81)}{3} - \frac{\ln (x + 16) \cdot 2 + \ln (x - 3)}{2}$

Paso 7.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (x + 16)$ .

$\frac{\ln (x^{4} - 81)}{3} - \frac{2 \ln (x + 16) + \ln (x - 3)}{2}$

Paso 8

Para escribir $\frac{\ln (x^{4} - 81)}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x^{4} - 81)}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2 \ln (x + 16) + \ln (x - 3)}{2}$

Paso 9

Para escribir $- \frac{2 \ln (x + 16) + \ln (x - 3)}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (x^{4} - 81)}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2 \ln (x + 16) + \ln (x - 3)}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 10

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{\ln (x^{4} - 81)}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x^{4} - 81) \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{2 \ln (x + 16) + \ln (x - 3)}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 10.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{\ln (x^{4} - 81) \cdot 2}{6} - \frac{2 \ln (x + 16) + \ln (x - 3)}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 10.3

Multiplica $\frac{2 \ln (x + 16) + \ln (x - 3)}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (x^{4} - 81) \cdot 2}{6} - \frac{(2 \ln (x + 16) + \ln (x - 3)) \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Paso 10.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\ln (x^{4} - 81) \cdot 2}{6} - \frac{(2 \ln (x + 16) + \ln (x - 3)) \cdot 3}{6}$

Paso 11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (x^{4} - 81) \cdot 2 - (2 \ln (x + 16) + \ln (x - 3)) \cdot 3}{6}$

Paso 12

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (x^{4} - 81)$ .

$\frac{2 \cdot \ln (x^{4} - 81) - (2 \ln (x + 16) + \ln (x - 3)) \cdot 3}{6}$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \ln (x^{4} - 81) + (- (2 \ln (x + 16)) - \ln (x - 3)) \cdot 3}{6}$

Paso 12.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 \ln (x^{4} - 81) + (- 2 \ln (x + 16) - \ln (x - 3)) \cdot 3}{6}$

Paso 12.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \ln (x^{4} - 81) - 2 \ln (x + 16) \cdot 3 - \ln (x - 3) \cdot 3}{6}$

Paso 12.5

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{2 \ln (x^{4} - 81) - 6 \ln (x + 16) - \ln (x - 3) \cdot 3}{6}$

Paso 12.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 \ln (x^{4} - 81) - 6 \ln (x + 16) - 3 \ln (x - 3)}{6}$