Precálculo Ejemplos

$\frac{x + 2}{x - 3}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{y + 2}{y - 3}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Multiplica la ecuación por $y - 3$ .

$(y - 3) (x) = (\frac{y + 2}{y - 3}) (y - 3)$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y x - 3 x = (\frac{y + 2}{y - 3}) (y - 3)$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $y - 3$ .

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común.

$y x - 3 x = \frac{y + 2}{y - 3} (y - 3)$

Paso 2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y x - 3 x = y + 2$

Paso 2.4

Resuelve $y$

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Paso 2.4.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$y x - 3 x - y = 2$

Paso 2.4.2

Suma $3 x$ a ambos lados de la ecuación.

$y x - y = 2 + 3 x$

Paso 2.4.3

Factoriza $y$ de $y x - y$ .

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Paso 2.4.3.1

Factoriza $y$ de $y x$ .

$y (x) - y = 2 + 3 x$

Paso 2.4.3.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 2 + 3 x$

Paso 2.4.3.3

Factoriza $y$ de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 2 + 3 x$

Paso 2.4.4

Divide cada término en $y (x - 1) = 2 + 3 x$ por $x - 1$ y simplifica.

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Paso 2.4.4.1

Divide cada término en $y (x - 1) = 2 + 3 x$ por $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{3 x}{x - 1}$

Paso 2.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.4.2.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 2.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{3 x}{x - 1}$

Paso 2.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2}{x - 1} + \frac{3 x}{x - 1}$

Paso 2.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{2 + 3 (\frac{x + 2}{x - 3})}{(\frac{x + 2}{x - 3}) - 1}$

Paso 4.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 3$ .

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $\frac{2 + 3 \frac{x + 2}{x - 3}}{\frac{x + 2}{x - 3} - 1}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{x - 3}{x - 3} \cdot \frac{2 + 3 (\frac{x + 2}{x - 3})}{\frac{x + 2}{x - 3} - 1}$

Paso 4.2.3.2

Combinar.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (2 + 3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{(x - 3) (\frac{x + 2}{x - 3} - 1)}$

Paso 4.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) \cdot 2 + (x - 3) (3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{(x - 3) (\frac{x + 2}{x - 3}) + (x - 3) \cdot - 1}$

Paso 4.2.5

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 4.2.5.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) \cdot 2 + (x - 3) (3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{(x - 3) (\frac{x + 2}{x - 3}) + (x - 3) \cdot - 1}$

Paso 4.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) \cdot 2 + (x - 3) (3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Paso 4.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.6.1

Factoriza $x - 3$ de $(x - 3) \cdot 2 + (x - 3) \cdot 3 \frac{x + 2}{x - 3}$ .

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Paso 4.2.6.1.1

Factoriza $x - 3$ de $(x - 3) \cdot 2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (2) + (x - 3) (3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Paso 4.2.6.1.2

Factoriza $x - 3$ de $(x - 3) (2) + (x - 3) (3 \frac{x + 2}{x - 3})$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (2 + 3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Paso 4.2.6.2

Combina $3$ y $\frac{x + 2}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (2 + \frac{3 (x + 2)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Paso 4.2.6.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{2 (x - 3)}{x - 3} + \frac{3 (x + 2)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Paso 4.2.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{2 (x - 3) + 3 (x + 2)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Paso 4.2.6.5

Reordena los términos.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 (x + 2) + 2 (x - 3)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Paso 4.2.6.6

Reescribe $\frac{3 (x + 2) + 2 (x - 3)}{x - 3}$ en forma factorizada.

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Paso 4.2.6.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 x + 3 \cdot 2 + 2 (x - 3)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Paso 4.2.6.6.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 x + 6 + 2 (x - 3)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Paso 4.2.6.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 x + 6 + 2 x + 2 \cdot - 3}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Paso 4.2.6.6.4

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 x + 6 + 2 x - 6}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Paso 4.2.6.6.5

Suma $3 x$ y $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x + 6 - 6}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Paso 4.2.6.6.6

Resta $6$ de $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x + 0}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Paso 4.2.6.6.7

Suma $5 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Paso 4.2.7

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1}$

Paso 4.2.7.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 - 1 \cdot x - 3 \cdot - 1}$

Paso 4.2.7.3

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 - 1 \cdot x + 3}$

Paso 4.2.7.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 - x + 3}$

Paso 4.2.7.5

Resta $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{0 + 2 + 3}$

Paso 4.2.7.6

Suma $0$ y $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{2 + 3}$

Paso 4.2.7.7

Suma $2$ y $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{5}$

Paso 4.2.8

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.8.1

Factoriza $\frac{5 x}{x - 3}$ de $\frac{(x - 3) \frac{5 x}{x - 3}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{5 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{5}$

Paso 4.2.8.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.2.8.2.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{5 (x)}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{5}$

Paso 4.2.8.2.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{5 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{5}$

Paso 4.2.8.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Paso 4.2.8.3

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 4.2.8.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Paso 4.2.8.3.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{2 + 3 x}{x - 1})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + 2}{(\frac{2 + 3 x}{x - 1}) - 3}$

Paso 4.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

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Paso 4.3.3.1

Multiplica $\frac{\frac{2 + 3 x}{x - 1} + 2}{\frac{2 + 3 x}{x - 1} - 3}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{2 + 3 x}{x - 1} + 2}{\frac{2 + 3 x}{x - 1} - 3}$

Paso 4.3.3.2

Combinar.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1} + 2)}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1} - 3)}$

Paso 4.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 4.3.5

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 4.3.5.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 4.3.5.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 4.3.5.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 4.3.5.2

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 4.3.5.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 4.3.5.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + (x - 1) \cdot 2}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 4.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 4.3.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + 2 \cdot x - 1 \cdot 2}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 4.3.6.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + 2 \cdot x - 2}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 4.3.6.4

Resta $2$ de $2$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{3 x + 2 x + 0}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 4.3.6.5

Suma $3 x + 2 x$ y $0$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{3 x + 2 x}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 4.3.6.6

Suma $3 x$ y $2 x$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 4.3.7

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 + 3 x + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3}$

Paso 4.3.7.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 + 3 x - 3 \cdot x - 1 \cdot - 3}$

Paso 4.3.7.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 + 3 x - 3 \cdot x + 3}$

Paso 4.3.7.4

Suma $2$ y $3$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{3 x - 3 x + 5}$

Paso 4.3.7.5

Resta $3 x$ de $3 x$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{0 + 5}$

Paso 4.3.7.6

Suma $0$ y $5$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{5}$

Paso 4.3.8

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.3.8.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{5}$

Paso 4.3.8.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$