Precálculo Ejemplos

$\cos (x) = \frac{3}{5}$ , $\cos (2 x)$

Paso 1

Usa la definición de coseno para obtener los lados conocidos del triángulo rectángulo del círculo unitario. El cuadrante determina el signo en cada uno de los valores.

$\cos (x) = \frac{adyacente}{hipotenusa}$

Paso 2

Obtén el lado opuesto del triángulo del círculo unitario. Dado que se conocen el lado adyacente y la hipotenusa, usa el teorema de Pitágoras para encontrar el lado restante.

$Opuesto = \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {adyacente}^{2}}$

Paso 3

Reemplaza los valores conocidos en la ecuación.

$Opuesto = \sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica dentro del radical.

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Paso 4.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

Opuesta $= \sqrt{25 - {(3)}^{2}}$

Paso 4.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

Opuesta $= \sqrt{25 - 1 \cdot 9}$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por $9$ .

Opuesta $= \sqrt{25 - 9}$

Paso 4.4

Resta $9$ de $25$ .

Opuesta $= \sqrt{16}$

Paso 4.5

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

Opuesta $= \sqrt{4^{2}}$

Paso 4.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

Opuesta $= 4$

Paso 5

Usa la definición de coseno para obtener el valor de $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{adyacente}{hipotenusa}$

Paso 6

Sustituye los valores conocidos.

$\cos (x) = \frac{3}{5}$

Paso 7

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1$

Paso 8

Usa la definición de $c o s$ para obtener el valor de $\cos (x)$ . En este caso, $\cos (x) = \frac{3}{5}$ .

$\cos (x) = \frac{3}{5}$

Paso 9

Sustituye los valores en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$\cos (2 x) = 2 {(\frac{3}{5})}^{2} - 1$

Paso 10

Evalúa $2 {(\frac{3}{5})}^{2} - 1$ para obtener $\cos (2 x)$ .

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{5}$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{3^{2}}{5^{2}}) - 1$

Paso 10.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{9}{5^{2}}) - 1$

Paso 10.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{9}{25}) - 1$

Paso 10.1.4

Multiplica $2 (\frac{9}{25})$ .

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Paso 10.1.4.1

Combina $2$ y $\frac{9}{25}$ .

$\cos (2 x) = \frac{2 \cdot 9}{25} - 1$

Paso 10.1.4.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$\cos (2 x) = \frac{18}{25} - 1$

Paso 10.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{25}{25}$ .

$\cos (2 x) = \frac{18}{25} - 1 \cdot \frac{25}{25}$

Paso 10.3

Combina $- 1$ y $\frac{25}{25}$ .

$\cos (2 x) = \frac{18}{25} + \frac{- 1 \cdot 25}{25}$

Paso 10.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\cos (2 x) = \frac{18 - 1 \cdot 25}{25}$

Paso 10.5

Simplifica el numerador.

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Paso 10.5.1

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$\cos (2 x) = \frac{18 - 25}{25}$

Paso 10.5.2

Resta $25$ de $18$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 7}{25}$

Paso 10.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (2 x) = - \frac{7}{25}$