Precálculo Ejemplos

h (x) = - x^{2} - 2 x + 3

$h (x) = - x^{2} - 2 x + 3$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de

- x^{2} - 2 x + 3

$- x^{2} - 2 x + 3$ .

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Paso 1.1.1.1

Usa la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de

a

$a$ ,

b

$b$ y

c

$c$ .

a = - 1

$a = - 1$

b = - 2

$b = - 2$

c = 3

$c = 3$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de

d

$d$ con la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ en la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 2}{2 \cdot - 1}

$d = \frac{- 2}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de

- 2

$- 2$ y

2

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.2.1.1

Factoriza

2

$2$ de

- 2

$- 2$ .

d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot - 1}

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de

\frac{- 1}{- 1}

$\frac{- 1}{- 1}$ .

d = - 1 \cdot - 1

$d = - 1 \cdot - 1$

d = - 1 \cdot - 1

$d = - 1 \cdot - 1$

Paso 1.1.1.3.2.2

Reescribe

- 1 \cdot - 1

$- 1 \cdot - 1$ como

- - 1

$- - 1$ .

d = - - 1

$d = - - 1$

Paso 1.1.1.3.2.3

Multiplica

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

d = 1

$d = 1$

d = 1

$d = 1$

d = 1

$d = 1$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de

e

$e$ con la fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de

c

$c$ ,

b

$b$ y

a

$a$ en la fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 3 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot - 1}

$e = 3 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Eleva

- 2

$- 2$ a la potencia de

2

$2$ .

e = 3 - \frac{4}{4 \cdot - 1}

$e = 3 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Multiplica

4

$4$ por

- 1

$- 1$ .

e = 3 - \frac{4}{- 4}

$e = 3 - \frac{4}{- 4}$

Paso 1.1.1.4.2.1.3

Divide

4

$4$ por

- 4

$- 4$ .

e = 3 - - 1

$e = 3 - - 1$

Paso 1.1.1.4.2.1.4

Multiplica

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

e = 3 + 1

$e = 3 + 1$

e = 3 + 1

$e = 3 + 1$

Paso 1.1.1.4.2.2

Suma

3

$3$ y

1

$1$ .

e = 4

$e = 4$

e = 4

$e = 4$

e = 4

$e = 4$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de

a

$a$ ,

d

$d$ y

e

$e$ en la forma de vértice

- {(x + 1)}^{2} + 4

$- {(x + 1)}^{2} + 4$ .

- {(x + 1)}^{2} + 4

$- {(x + 1)}^{2} + 4$

- {(x + 1)}^{2} + 4

$- {(x + 1)}^{2} + 4$

Paso 1.1.2

Establece

y

$y$ igual al nuevo lado derecho.

y = - {(x + 1)}^{2} + 4

$y = - {(x + 1)}^{2} + 4$

y = - {(x + 1)}^{2} + 4

$y = - {(x + 1)}^{2} + 4$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice,

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de

a

$a$ ,

h

$h$ y

k

$k$ .

a = - 1

$a = - 1$

h = - 1

$h = - 1$

k = 4

$k = 4$

Paso 1.3

Como el valor de

a

$a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 1.4

Obtén el vértice

(h, k)

$(h, k)$ .

(- 1, 4)

$(- 1, 4)$

Paso 1.5

Obtén

p

$p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de

a

$a$ en la fórmula.

\frac{1}{4 \cdot - 1}

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de

1

$1$ y

- 1

$- 1$ .

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Paso 1.5.3.1

Reescribe

1

$1$ como

- 1 (- 1)

$- 1 (- 1)$ .

\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar

p

$p$ a la coordenada y

k

$k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

(h, k + p)

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de

h

$h$ ,

p

$p$ y

k

$k$ en la fórmula y simplifica.

(- 1, \frac{15}{4})

$(- 1, \frac{15}{4})$

(- 1, \frac{15}{4})

$(- 1, \frac{15}{4})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

x = - 1

$x = - 1$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar

p

$p$ de la coordenada y

k

$k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

y = k - p

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de

p

$p$ y

k

$k$ en la fórmula y simplifica.

y = \frac{17}{4}

$y = \frac{17}{4}$

y = \frac{17}{4}

$y = \frac{17}{4}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice:

(- 1, 4)

$(- 1, 4)$

Foco:

(- 1, \frac{15}{4})

$(- 1, \frac{15}{4})$

Eje de simetría:

x = - 1

$x = - 1$

Directriz:

y = \frac{17}{4}

$y = \frac{17}{4}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice:

(- 1, 4)

$(- 1, 4)$

Foco:

(- 1, \frac{15}{4})

$(- 1, \frac{15}{4})$

Eje de simetría:

x = - 1

$x = - 1$

Directriz:

y = \frac{17}{4}

$y = \frac{17}{4}$

Paso 2

Selecciona algunos valores

x

$x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores

y

$y$ correspondientes. Los valores

x

$x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable

x

$x$ con

- 2

$- 2$ en la expresión.

f (- 2) = - {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 + 3

$f (- 2) = - {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 + 3$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Eleva

- 2

$- 2$ a la potencia de

2

$2$ .

f (- 2) = - 1 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 + 3

$f (- 2) = - 1 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 + 3$

Paso 2.2.1.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

4

$4$ .

f (- 2) = - 4 - 2 \cdot - 2 + 3

$f (- 2) = - 4 - 2 \cdot - 2 + 3$

Paso 2.2.1.3

Multiplica

- 2

$- 2$ por

- 2

$- 2$ .

f (- 2) = - 4 + 4 + 3

$f (- 2) = - 4 + 4 + 3$

f (- 2) = - 4 + 4 + 3

$f (- 2) = - 4 + 4 + 3$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.2.2.1

Suma

- 4

$- 4$ y

4

$4$ .

f (- 2) = 0 + 3

$f (- 2) = 0 + 3$

Paso 2.2.2.2

Suma

0

$0$ y

3

$3$ .

f (- 2) = 3

$f (- 2) = 3$

f (- 2) = 3

$f (- 2) = 3$

Paso 2.2.3

La respuesta final es

3

$3$ .

3

$3$

3

$3$

Paso 2.3

El valor de

y

$y$ en

x = - 2

$x = - 2$ es

3

$3$ .

y = 3

$y = 3$

Paso 2.4

Reemplaza la variable

x

$x$ con

- 3

$- 3$ en la expresión.

f (- 3) = - {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 + 3

$f (- 3) = - {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 + 3$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1.1

Eleva

- 3

$- 3$ a la potencia de

2

$2$ .

f (- 3) = - 1 \cdot 9 - 2 \cdot - 3 + 3

$f (- 3) = - 1 \cdot 9 - 2 \cdot - 3 + 3$

Paso 2.5.1.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

9

$9$ .

f (- 3) = - 9 - 2 \cdot - 3 + 3

$f (- 3) = - 9 - 2 \cdot - 3 + 3$

Paso 2.5.1.3

Multiplica

- 2

$- 2$ por

- 3

$- 3$ .

f (- 3) = - 9 + 6 + 3

$f (- 3) = - 9 + 6 + 3$

f (- 3) = - 9 + 6 + 3

$f (- 3) = - 9 + 6 + 3$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante la adición de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Suma

- 9

$- 9$ y

6

$6$ .

f (- 3) = - 3 + 3

$f (- 3) = - 3 + 3$

Paso 2.5.2.2

Suma

- 3

$- 3$ y

3

$3$ .

f (- 3) = 0

$f (- 3) = 0$

f (- 3) = 0

$f (- 3) = 0$

Paso 2.5.3

La respuesta final es

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

Paso 2.6

El valor de

y

$y$ en

x = - 3

$x = - 3$ es

0

$0$ .

y = 0

$y = 0$

Paso 2.7

Reemplaza la variable

x

$x$ con

0

$0$ en la expresión.

f (0) = - {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 3

$f (0) = - {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 3$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1.1

Elevar

0

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

0

$0$ .

f (0) = - 0 - 2 \cdot 0 + 3

$f (0) = - 0 - 2 \cdot 0 + 3$

Paso 2.8.1.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

0

$0$ .

f (0) = 0 - 2 \cdot 0 + 3

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 + 3$

Paso 2.8.1.3

Multiplica

- 2

$- 2$ por

0

$0$ .

f (0) = 0 + 0 + 3

$f (0) = 0 + 0 + 3$

f (0) = 0 + 0 + 3

$f (0) = 0 + 0 + 3$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.8.2.1

Suma

0

$0$ y

0

$0$ .

f (0) = 0 + 3

$f (0) = 0 + 3$

Paso 2.8.2.2

Suma

0

$0$ y

3

$3$ .

f (0) = 3

$f (0) = 3$

f (0) = 3

$f (0) = 3$

Paso 2.8.3

La respuesta final es

3

$3$ .

3

$3$

3

$3$

Paso 2.9

El valor de

y

$y$ en

x = 0

$x = 0$ es

3

$3$ .

y = 3

$y = 3$

Paso 2.10

Reemplaza la variable

x

$x$ con

1

$1$ en la expresión.

f (1) = - {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 3

$f (1) = - {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 3$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

f (1) = - 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 3

$f (1) = - 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 3$

Paso 2.11.1.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

f (1) = - 1 - 2 \cdot 1 + 3

$f (1) = - 1 - 2 \cdot 1 + 3$

Paso 2.11.1.3

Multiplica

- 2

$- 2$ por

1

$1$ .

f (1) = - 1 - 2 + 3

$f (1) = - 1 - 2 + 3$

f (1) = - 1 - 2 + 3

$f (1) = - 1 - 2 + 3$

Paso 2.11.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.11.2.1

Resta

2

$2$ de

- 1

$- 1$ .

f (1) = - 3 + 3

$f (1) = - 3 + 3$

Paso 2.11.2.2

Suma

- 3

$- 3$ y

3

$3$ .

f (1) = 0

$f (1) = 0$

f (1) = 0

$f (1) = 0$

Paso 2.11.3

La respuesta final es

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

Paso 2.12

El valor de

y

$y$ en

x = 1

$x = 1$ es

0

$0$ .

y = 0

$y = 0$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 0 \\ - 2 & 3 \\ - 1 & 4 \\ 0 & 3 \\ 1 & 0 \end{array}

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 0 \\ - 2 & 3 \\ - 1 & 4 \\ 0 & 3 \\ 1 & 0 \end{array}$

\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 0 \\ - 2 & 3 \\ - 1 & 4 \\ 0 & 3 \\ 1 & 0 \end{array}

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 0 \\ - 2 & 3 \\ - 1 & 4 \\ 0 & 3 \\ 1 & 0 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice:

(- 1, 4)

$(- 1, 4)$

Foco:

(- 1, \frac{15}{4})

$(- 1, \frac{15}{4})$

Eje de simetría:

x = - 1

$x = - 1$

Directriz:

y = \frac{17}{4}

$y = \frac{17}{4}$

\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 0 \\ - 2 & 3 \\ - 1 & 4 \\ 0 & 3 \\ 1 & 0 \end{array}

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 0 \\ - 2 & 3 \\ - 1 & 4 \\ 0 & 3 \\ 1 & 0 \end{array}$

Paso 4