Precálculo Ejemplos

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$

Paso 1

Esta es una progresión geométrica porque hay una razón en común entre cada término. En este caso, multiplicar el término anterior en la progresión por $\frac{1}{2}$ da el término siguiente. En otras palabras, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

progresión geométrica: $r = \frac{1}{2}$

Paso 2

Esta es la forma de una progresión geométrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Paso 3

Sustituye los valores de $a_{1} = 1$ y $r = \frac{1}{2}$ .

$a_{n} = 1 {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Paso 4

Multiplica ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ por $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Paso 5

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Paso 6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$a_{n} = \frac{1}{2^{n - 1}}$

Paso 7

Esta es la fórmula para obtener la suma de los primeros términos $n$ de la progresión geométrica. Para evaluarla, obtén los valores de $r$ y $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Paso 8

Reemplaza las variables con los valores conocidos para obtener $S_{7}$ .

$S_{7} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 9

Multiplica $\frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$ por $1$ .

$S_{7} = \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 10

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Multiplica $\frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$S_{7} = \frac{2}{2} \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 10.2

Combinar.

$S_{7} = \frac{2 ({(\frac{1}{2})}^{7} - 1)}{2 (\frac{1}{2} - 1)}$

Paso 11

Aplica la propiedad distributiva.

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2}) + 2 \cdot - 1}$

Paso 12

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Cancela el factor común.

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2}) + 2 \cdot - 1}$

Paso 12.2

Reescribe la expresión.

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 13

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2^{7}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 13.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1

Factoriza $2$ de $2^{7}$ .

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2 \cdot 2^{6}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 13.2.2

Cancela el factor común.

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2 \cdot 2^{6}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 13.2.3

Reescribe la expresión.

$S_{7} = \frac{\frac{1^{7}}{2^{6}} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 13.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$S_{7} = \frac{\frac{1}{2^{6}} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 13.4

Eleva $2$ a la potencia de $6$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 13.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} - 2}{1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 13.6

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{64}{64}$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} - 2 \cdot \frac{64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 13.7

Combina $- 2$ y $\frac{64}{64}$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} + \frac{- 2 \cdot 64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 13.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$S_{7} = \frac{\frac{1 - 2 \cdot 64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 13.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.9.1

Multiplica $- 2$ por $64$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1 - 128}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 13.9.2

Resta $128$ de $1$ .

$S_{7} = \frac{\frac{- 127}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 13.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 14

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{1 - 2}$

Paso 14.2

Resta $2$ de $1$ .

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{- 1}$

Paso 15

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$S_{7} = \frac{\frac{127}{64}}{1}$

Paso 15.2

Divide $\frac{127}{64}$ por $1$ .

$S_{7} = \frac{127}{64}$