Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

Paso 1

Esta es una progresión geométrica porque hay una razón en común entre cada término. En este caso, multiplicar el término anterior en la progresión por $\frac{1}{2}$ da el término siguiente. En otras palabras, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

progresión geométrica: $r = \frac{1}{2}$

Paso 2

La suma de una serie $S_{n}$ se calcula con la fórmula $S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ . Para la suma de una serie geométrica infinita $S_{\infty}$ , a medida que $n$ se acerca a $\infty$ , $1 - r^{n}$ se acerca a $1$ . Por ende, $\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ se acerca a $\frac{a}{1 - r}$ .

$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

Paso 3

Los valores $a = \frac{1}{2}$ y $r = \frac{1}{2}$ pueden incorporarse a la ecuación $S_{\infty}$ .

$S_{\infty} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}}$

Paso 4

Simplifica la ecuación para obtener $S_{\infty}$ .

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Paso 4.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$S_{\infty} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$S_{\infty} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Paso 4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$S_{\infty} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 - 1}{2}}$

Paso 4.2.3

Resta $1$ de $2$ .

$S_{\infty} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 4.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$S_{\infty} = \frac{1}{2} \cdot (1 \cdot 2)$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $2$ de $1 \cdot 2$ .

$S_{\infty} = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 1)$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$S_{\infty} = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 1)$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$S_{\infty} = 1$