Precálculo Ejemplos

$4 x^{2} + 4 y^{2} - 4 x + 12 y + 1 = 0$

Paso 1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} + 4 y^{2} - 4 x + 12 y = - 1$

Paso 2

Divide ambos lados de la ecuación por $4$ .

$x^{2} + y^{2} - x + 3 y = - \frac{1}{4}$

Paso 3

Completa el cuadrado de $x^{2} - x$ .

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Paso 3.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0$

Paso 3.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 3.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 1$ y $1$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{1}{2}$

Paso 3.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Paso 3.4.2.2

Resta $\frac{1}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Paso 3.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Paso 4

Sustituye ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ por $x^{2} - x$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - x + 3 y = - \frac{1}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} + 3 y = - \frac{1}{4}$

Paso 5

Mueve $- \frac{1}{4}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{1}{4}$ a ambos lados.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} + 3 y = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 6

Completa el cuadrado de $y^{2} + 3 y$ .

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Paso 6.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 3$

$c = 0$

Paso 6.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 6.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 6.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{3}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$d = \frac{3}{2}$

Paso 6.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 6.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{3^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Paso 6.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{9}{4}$

Paso 6.4.2.2

Resta $\frac{9}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{9}{4}$

Paso 6.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ .

${(y + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Paso 7

Sustituye ${(y + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ por $y^{2} + 3 y$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - x + 3 y = - \frac{1}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 8

Mueve $- \frac{9}{4}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{9}{4}$ a ambos lados.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{9}{4}$

Paso 9

Simplifica $- \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{9}{4}$ .

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Paso 9.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 1 + 1 + 9}{4}$

Paso 9.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 9.2.1

Suma $- 1$ y $1$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{0 + 9}{4}$

Paso 9.2.2

Suma $0$ y $9$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{9}{4}$

Paso 10

Esta es la forma de un círculo. Usa esta forma para determinar el centro y el radio del círculo.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Paso 11

Haz coincidir los valores de este círculo con los de la ecuación ordinaria. La variable $r$ representa el radio del círculo, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$r = \frac{3}{2}$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{3}{2}$

Paso 12

El centro del círculo se ubica en $(h, k)$ .

Centro: $(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$

Paso 13

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de un círculo.

Centro: $(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$

Radio: $\frac{3}{2}$

Paso 14