Precálculo Ejemplos

$x = y^{2} - 4 y + 7$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Completa el cuadrado de $y^{2} - 4 y + 7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 7$

Paso 1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Paso 1.1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{1}$

Paso 1.1.3.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Paso 1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 7 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.2.1.1

Cancela el factor común de ${(- 4)}^{2}$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.2.1.1.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$e = 7 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $- 1 (4)$ .

$e = 7 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.4.2.1.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = 7 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.4.2.1.1.4

Multiplica $4^{2}$ por $1$ .

$e = 7 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.4.2.1.1.5

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.4.2.1.1.6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.2.1.1.6.1

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1$ .

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Paso 1.1.4.2.1.1.6.2

Cancela el factor común.

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.4.2.1.1.6.3

Reescribe la expresión.

$e = 7 - \frac{4}{1}$

Paso 1.1.4.2.1.1.6.4

Divide $4$ por $1$ .

$e = 7 - 1 \cdot 4$

Paso 1.1.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 7 - 4$

Paso 1.1.4.2.2

Resta $4$ de $7$ .

$e = 3$

Paso 1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y - 2)}^{2} + 3$ .

${(y - 2)}^{2} + 3$

Paso 1.2

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = {(y - 2)}^{2} + 3$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 1$

$h = 3$

$k = 2$

Paso 3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(3, 2)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 6

Obtén el foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{13}{4}, 2)$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = 2$

Paso 8

Obtén la directriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = \frac{11}{4}$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(3, 2)$

Foco: $(\frac{13}{4}, 2)$

Eje de simetría: $y = 2$

Directriz: $x = \frac{11}{4}$

Paso 10