Precálculo Ejemplos

$y^{2} = 1 - 3 x^{2}$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 1.1.1

Suma $3 x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} + 3 x^{2} = 1$

Paso 1.1.2

Reordena $y^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + y^{2} = 1$

Paso 1.2

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{3}} + y^{2} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 1$

$b = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}$

Paso 5.3.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}$

Paso 5.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Paso 5.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{1 - \frac{3^{1}}{3^{2}}}$

Paso 5.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{1 - \frac{3}{3^{2}}}$

Paso 5.3.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{3}{9}}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $3$ y $9$ .

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\sqrt{1 - \frac{3 (1)}{9}}$

Paso 5.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.4.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\sqrt{1 - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Paso 5.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{1 - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Paso 5.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{1 - \frac{1}{3}}$

Paso 5.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.5.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Paso 5.3.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{3 - 1}{3}}$

Paso 5.3.5.3

Resta $1$ de $3$ .

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Paso 5.3.6

Reescribe $\sqrt{\frac{2}{3}}$ como $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Paso 5.3.7

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 5.3.8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.3.8.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 5.3.8.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 5.3.8.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 5.3.8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 5.3.8.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 5.3.8.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.3.8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.3.8.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.3.8.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.8.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.8.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.8.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 5.3.8.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Paso 5.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.9.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Paso 5.3.9.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 + 1)$

Paso 6.3

Simplifica.

$(0, 1)$

Paso 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 - (1))$

Paso 6.6

Simplifica.

$(0, - 1)$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 + \frac{\sqrt{6}}{3})$

Paso 7.3

Simplifica.

$(0, \frac{\sqrt{6}}{3})$

Paso 7.4

El primer foco de una elipse puede obtenerse al restar $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 - (\frac{\sqrt{6}}{3}))$

Paso 7.6

Simplifica.

$(0, - \frac{\sqrt{6}}{3})$

Paso 7.7

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{6}}{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{6}}{3})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{6}}{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{6}}{3})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}}{1}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 8.3.1.1

Divide $\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$

Paso 8.3.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$

Paso 8.3.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}$

Paso 8.3.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}$

Paso 8.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}$

Paso 8.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Paso 8.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Paso 8.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{1 - \frac{3^{1}}{3^{2}}}$

Paso 8.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{1 - \frac{3}{3^{2}}}$

Paso 8.3.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{3}{9}}$

Paso 8.3.4

Cancela el factor común de $3$ y $9$ .

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Paso 8.3.4.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\sqrt{1 - \frac{3 (1)}{9}}$

Paso 8.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.4.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\sqrt{1 - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Paso 8.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{1 - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Paso 8.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{1 - \frac{1}{3}}$

Paso 8.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 8.3.5.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Paso 8.3.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{3 - 1}{3}}$

Paso 8.3.5.3

Resta $1$ de $3$ .

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Paso 8.3.6

Reescribe $\sqrt{\frac{2}{3}}$ como $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.7

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.3.8.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 8.3.8.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 8.3.8.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 8.3.8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 8.3.8.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 8.3.8.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.3.8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.3.8.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.3.8.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.8.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.8.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.8.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 8.3.8.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Paso 8.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.9.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Paso 8.3.9.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{6}}{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{6}}{3})$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Paso 10