Precálculo Ejemplos

${(x - 4)}^{2} = 2 (y - 3)$

Paso 1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación como $2 (y - 3) = {(x - 4)}^{2}$ .

$2 (y - 3) = {(x - 4)}^{2}$

Paso 1.2

Divide cada término en $2 (y - 3) = {(x - 4)}^{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $2 (y - 3) = {(x - 4)}^{2}$ por $2$ .

$\frac{2 (y - 3)}{2} = \frac{{(x - 4)}^{2}}{2}$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (y - 3)}{2} = \frac{{(x - 4)}^{2}}{2}$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $y - 3$ por $1$ .

$y - 3 = \frac{{(x - 4)}^{2}}{2}$

Paso 1.3

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{{(x - 4)}^{2}}{2} + 3$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{2} + 3$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 4$

$k = 3$

Paso 3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(4, 3)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Paso 5.3.2

Divide $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(4, \frac{7}{2})$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 4$

Paso 8

Obtén la directriz.

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Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{5}{2}$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(4, 3)$

Foco: $(4, \frac{7}{2})$

Eje de simetría: $x = 4$

Directriz: $y = \frac{5}{2}$

Paso 10