Precálculo Ejemplos

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(x + 5)}^{2}}{25} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(x + 5)}^{2}}{25} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 4$

$b = 5$

$k = 3$

$h = - 5$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(- 5, 3)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(5)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{16 + {(5)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{16 + 25}$

Paso 5.3.3

Suma $16$ y $25$ .

$\sqrt{41}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 5, 7)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 5, - 1)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm a)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(- 5, 7), (- 5, - 1)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 5, 3 + \sqrt{41})$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 5, 3 - \sqrt{41})$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(- 5, 3 + \sqrt{41}), (- 5, 3 - \sqrt{41})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(5)}^{2}}}{4}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 5^{2}}}{4}$

Paso 8.3.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 25}}{4}$

Paso 8.3.3

Suma $16$ y $25$ .

$\frac{\sqrt{41}}{4}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{5^{2}}{\sqrt{41}}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{25}{\sqrt{41}}$

Paso 9.3.2

Multiplica $\frac{25}{\sqrt{41}}$ por $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\frac{25}{\sqrt{41}} \cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$

Paso 9.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.3.1

Multiplica $\frac{25}{\sqrt{41}}$ por $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}}$

Paso 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{41}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} \sqrt{41}}$

Paso 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{41}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} {\sqrt{41}}^{1}}$

Paso 9.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{25 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{2}}$

Paso 9.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{41}}^{2}$ como $41$ .

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Paso 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{41}$ como $41^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{{(41^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{41^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{25 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{25 \sqrt{41}}{41^{1}}$

Paso 9.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{25 \sqrt{41}}{41}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ porque esta hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo.

$y = \pm \frac{4}{5} \cdot (x - (- 5)) + 3$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{4}{5} \cdot (x - (- 5)) + 3$

Paso 11.2

Simplifica $\frac{4}{5} \cdot (x - (- 5)) + 3$ .

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$y = \frac{4}{5} \cdot (x + 5) + 3$

Paso 11.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot 5 + 3$

Paso 11.2.1.3

Combina $\frac{4}{5}$ y $x$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot 5 + 3$

Paso 11.2.1.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 11.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot 5 + 3$

Paso 11.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{4 x}{5} + 4 + 3$

Paso 11.2.2

Suma $4$ y $3$ .

$y = \frac{4 x}{5} + 7$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{4}{5} \cdot (x - (- 5)) + 3$

Paso 12.2

Simplifica $- \frac{4}{5} \cdot (x - (- 5)) + 3$ .

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$y = - \frac{4}{5} \cdot (x + 5) + 3$

Paso 12.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{4}{5} x - \frac{4}{5} \cdot 5 + 3$

Paso 12.2.1.3

Combina $x$ y $\frac{4}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} - \frac{4}{5} \cdot 5 + 3$

Paso 12.2.1.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 12.2.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{5}$ al numerador.

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{- 4}{5} \cdot 5 + 3$

Paso 12.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{- 4}{5} \cdot 5 + 3$

Paso 12.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} - 4 + 3$

Paso 12.2.1.5

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{4 x}{5} - 4 + 3$

Paso 12.2.2

Suma $- 4$ y $3$ .

$y = - \frac{4 x}{5} - 1$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{4 x}{5} + 7, y = - \frac{4 x}{5} - 1$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(- 5, 3)$

Vértices: $(- 5, 7), (- 5, - 1)$

Focos: $(- 5, 3 + \sqrt{41}), (- 5, 3 - \sqrt{41})$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{41}}{4}$

Parámetro focal: $\frac{25 \sqrt{41}}{41}$

Asíntotas: $y = \frac{4 x}{5} + 7$ , $y = - \frac{4 x}{5} - 1$

Paso 15