Precálculo Ejemplos

$y^{2} - 3 x + 14 y + 55 = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x + 14 y + 55 = - y^{2}$

Paso 1.1.1.2

Resta $14 y$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x + 55 = - y^{2} - 14 y$

Paso 1.1.1.3

Resta $55$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x = - y^{2} - 14 y - 55$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $- 3 x = - y^{2} - 14 y - 55$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $- 3 x = - y^{2} - 14 y - 55$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- y^{2}}{- 3} + \frac{- 14 y}{- 3} + \frac{- 55}{- 3}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- y^{2}}{- 3} + \frac{- 14 y}{- 3} + \frac{- 55}{- 3}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 3} + \frac{- 14 y}{- 3} + \frac{- 55}{- 3}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{y^{2}}{3} + \frac{- 14 y}{- 3} + \frac{- 55}{- 3}$

Paso 1.1.2.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{y^{2}}{3} + \frac{14 y}{3} + \frac{- 55}{- 3}$

Paso 1.1.2.3.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{y^{2}}{3} + \frac{14 y}{3} + \frac{55}{3}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{y^{2}}{3} + \frac{14 y}{3} + \frac{55}{3}$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{3}$

$b = \frac{14}{3}$

$c = \frac{55}{3}$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{14}{3}}{2 (\frac{1}{3})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{14}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $14$ .

$d = \frac{2 (7)}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 7}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Paso 1.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{7}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $\frac{7}{3}$ por $\frac{1}{\frac{1}{3}}$ .

$d = \frac{7}{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 1.2.3.2.4

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$d = \frac{7}{\frac{3}{3}}$

Paso 1.2.3.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.3.2.5.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{7}{\frac{3}{3}}$

Paso 1.2.3.2.5.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{7}{1}$

Paso 1.2.3.2.6

Divide $7$ por $1$ .

$d = 7$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{55}{3} - \frac{{(\frac{14}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{14}{3}$ .

$e = \frac{55}{3} - \frac{\frac{14^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Eleva $14$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{55}{3} - \frac{\frac{196}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{55}{3} - \frac{\frac{196}{9}}{4 (\frac{1}{3})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{3}$ .

$e = \frac{55}{3} - \frac{\frac{196}{9}}{\frac{4}{3}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{55}{3} - (\frac{196}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Paso 1.2.4.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.4.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $196$ .

$e = \frac{55}{3} - (\frac{4 (49)}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Paso 1.2.4.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{55}{3} - (\frac{4 \cdot 49}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Paso 1.2.4.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{55}{3} - (\frac{49}{9} \cdot 3)$

Paso 1.2.4.2.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.4.2.1.5.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$e = \frac{55}{3} - (\frac{49}{3 (3)} \cdot 3)$

Paso 1.2.4.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{55}{3} - (\frac{49}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

Paso 1.2.4.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{55}{3} - \frac{49}{3}$

Paso 1.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{55 - 49}{3}$

Paso 1.2.4.2.3

Resta $49$ de $55$ .

$e = \frac{6}{3}$

Paso 1.2.4.2.4

Divide $6$ por $3$ .

$e = 2$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{3} {(y + 7)}^{2} + 2$ .

$\frac{1}{3} {(y + 7)}^{2} + 2$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = \frac{1}{3} \cdot {(y + 7)}^{2} + 2$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{3}$

$h = 2$

$k = - 7$

Paso 3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(2, - 7)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{3}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Paso 5.3.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 (\frac{3}{4})$

Paso 5.3.3

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$\frac{3}{4}$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{11}{4}, - 7)$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = - 7$

Paso 8

Obtén la directriz.

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Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = \frac{5}{4}$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(2, - 7)$

Foco: $(\frac{11}{4}, - 7)$

Eje de simetría: $y = - 7$

Directriz: $x = \frac{5}{4}$

Paso 10