Precálculo Ejemplos

$x + y + z = 0$ , $6 x + 7 y + z = 0$ , $21 x + 25 y + z = 0$

Paso 1

Representa el sistema de ecuaciones en el formato de la matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 6 & 7 & 1 \\ 21 & 25 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Paso 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 6 & 7 & 1 \\ 21 & 25 & 1 \end{array}]$ .

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Paso 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 6 & 7 & 1 \\ 21 & 25 & 1 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 6 & 7 & 1 \\ 21 & 25 & 1 \end{array} |$

Paso 2.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 2.2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & 1 \\ 25 & 1 \end{array} |$

Paso 2.2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ 25 & 1 \end{array} |$

Paso 2.2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 1 \\ 21 & 1 \end{array} |$

Paso 2.2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 6 & 1 \\ 21 & 1 \end{array} |$

Paso 2.2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 7 \\ 21 & 25 \end{array} |$

Paso 2.2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 6 & 7 \\ 21 & 25 \end{array} |$

Paso 2.2.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ 25 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 6 & 1 \\ 21 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 6 & 7 \\ 21 & 25 \end{array} |$

Paso 2.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 7 & 1 \\ 25 & 1 \end{array} |$ .

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Paso 2.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (7 \cdot 1 - 25 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 6 & 1 \\ 21 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 6 & 7 \\ 21 & 25 \end{array} |$

Paso 2.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $7$ por $1$ .

$1 (7 - 25 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 6 & 1 \\ 21 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 6 & 7 \\ 21 & 25 \end{array} |$

Paso 2.3.2.1.2

Multiplica $- 25$ por $1$ .

$1 (7 - 25) - 1 | \begin{array}{c} 6 & 1 \\ 21 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 6 & 7 \\ 21 & 25 \end{array} |$

Paso 2.3.2.2

Resta $25$ de $7$ .

$1 \cdot - 18 - 1 | \begin{array}{c} 6 & 1 \\ 21 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 6 & 7 \\ 21 & 25 \end{array} |$

Paso 2.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 6 & 1 \\ 21 & 1 \end{array} |$ .

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Paso 2.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 18 - 1 (6 \cdot 1 - 21 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 6 & 7 \\ 21 & 25 \end{array} |$

Paso 2.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Multiplica $6$ por $1$ .

$1 \cdot - 18 - 1 (6 - 21 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 6 & 7 \\ 21 & 25 \end{array} |$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $- 21$ por $1$ .

$1 \cdot - 18 - 1 (6 - 21) + 1 | \begin{array}{c} 6 & 7 \\ 21 & 25 \end{array} |$

Paso 2.4.2.2

Resta $21$ de $6$ .

$1 \cdot - 18 - 1 \cdot - 15 + 1 | \begin{array}{c} 6 & 7 \\ 21 & 25 \end{array} |$

Paso 2.5

Evalúa $| \begin{array}{c} 6 & 7 \\ 21 & 25 \end{array} |$ .

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Paso 2.5.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 18 - 1 \cdot - 15 + 1 (6 \cdot 25 - 21 \cdot 7)$

Paso 2.5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.1.1

Multiplica $6$ por $25$ .

$1 \cdot - 18 - 1 \cdot - 15 + 1 (150 - 21 \cdot 7)$

Paso 2.5.2.1.2

Multiplica $- 21$ por $7$ .

$1 \cdot - 18 - 1 \cdot - 15 + 1 (150 - 147)$

Paso 2.5.2.2

Resta $147$ de $150$ .

$1 \cdot - 18 - 1 \cdot - 15 + 1 \cdot 3$

Paso 2.6

Simplifica el determinante.

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Paso 2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.1.1

Multiplica $- 18$ por $1$ .

$- 18 - 1 \cdot - 15 + 1 \cdot 3$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 15$ .

$- 18 + 15 + 1 \cdot 3$

Paso 2.6.1.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$- 18 + 15 + 3$

Paso 2.6.2

Suma $- 18$ y $15$ .

$- 3 + 3$

Paso 2.6.3

Suma $- 3$ y $3$ .

$0$

$D = 0$

Paso 3

Since the determinant is $0$ , the system cannot be solved using Cramer's Rule.