Precálculo Ejemplos

$\csc (x) > 0$ , $\cot (x) < 0$

Paso 1

El rango de la cosecante es $y \leq - 1$ y $y \geq 1$ . Como $0$ no se encuentra en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 2

Simplifica la segunda desigualdad.

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Paso 2.1

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cotangente.

No hay solución o $x < arccot (0)$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

El valor exacto de $arccot (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

No hay solución o $x < \frac{π}{2}$

Paso 2.3

La función cotangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

No hay solución o $x = π + \frac{π}{2}$

Paso 2.4

Simplifica $π + \frac{π}{2}$ .

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Paso 2.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

No hay solución o $x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 2.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

No hay solución o $x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

No hay solución o $x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Paso 2.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

No hay solución o $x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Paso 2.4.3.2

Suma $2 π$ y $π$ .

No hay solución o $x = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.5

Obtén el período de $\cot (x)$ .

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Paso 2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 2.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 2.6

El período de la función $\cot (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

No hay solución o $x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$

Paso 2.7

Consolida las respuestas.

No hay solución o $x = \frac{π}{2} + π n$

Paso 2.8

Obtén el dominio de $\csc (x)$ .

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Paso 2.8.1

Establece el argumento en $\csc (x)$ igual que $π n$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.8.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

${x | x \neq π n}$ $n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

No hay solución o $0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

$π < x < \frac{3 π}{2}$

Paso 2.10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.10.1

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{π}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.10.1.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{π}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

No hay solución o $x = 1$

Paso 2.10.1.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

No hay solución o $\cot (1) < 0$

Paso 2.10.1.3

$0.64209261$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

No solution or False

Paso 2.10.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{π}{2} < x < π$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.10.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{π}{2} < x < π$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

No hay solución o $x = 2$

Paso 2.10.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

No hay solución o $\cot (2) < 0$

Paso 2.10.2.3

$- 0.45765755$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

No solution or True

Paso 2.10.3

Prueba un valor en el intervalo $π < x < \frac{3 π}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.10.3.1

Elije un valor en el intervalo $π < x < \frac{3 π}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

No hay solución o $x = 4$

Paso 2.10.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

No hay solución o $\cot (4) < 0$

Paso 2.10.3.3

$0.86369115$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

No solution or False

Paso 2.10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

No solution or $0 < x < \frac{π}{2}$ False

$\frac{π}{2} < x < π$ Verdadero

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Falso

No solution or $0 < x < \frac{π}{2}$ False

$\frac{π}{2} < x < π$ Verdadero

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Falso

Paso 2.11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

No hay solución o $\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$

No hay solución