Precálculo Ejemplos

${(x + 2)}^{2} = 12 (y - 1)$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Reescribe la ecuación como $12 (y - 1) = {(x + 2)}^{2}$ .

$12 (y - 1) = {(x + 2)}^{2}$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $12 (y - 1) = {(x + 2)}^{2}$ por $12$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $12 (y - 1) = {(x + 2)}^{2}$ por $12$ .

$\frac{12 (y - 1)}{12} = \frac{{(x + 2)}^{2}}{12}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 (y - 1)}{12} = \frac{{(x + 2)}^{2}}{12}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $y - 1$ por $1$ .

$y - 1 = \frac{{(x + 2)}^{2}}{12}$

Paso 1.1.3

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{{(x + 2)}^{2}}{12} + 1$

Paso 1.1.4

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{12} \cdot {(x + 2)}^{2} + 1$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{1}{12} \cdot {(x + 2)}^{2} + 1$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.1

Reescribe ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{1}{12} \cdot ((x + 2) (x + 2)) + 1$

Paso 1.2.1.1.2

Expande $(x + 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{12} \cdot (x (x + 2) + 2 (x + 2)) + 1$

Paso 1.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) + 1$

Paso 1.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) + 1$

Paso 1.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) + 1$

Paso 1.2.1.1.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) + 1$

Paso 1.2.1.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) + 1$

Paso 1.2.1.1.3.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} + 4 x + 4) + 1$

Paso 1.2.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{12} x^{2} + \frac{1}{12} (4 x) + \frac{1}{12} \cdot 4 + 1$

Paso 1.2.1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.2.1.1.5.1

Combina $\frac{1}{12}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{12} (4 x) + \frac{1}{12} \cdot 4 + 1$

Paso 1.2.1.1.5.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.1.1.5.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{4 (3)} (4 x) + \frac{1}{12} \cdot 4 + 1$

Paso 1.2.1.1.5.2.2

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{4 (3)} (4 (x)) + \frac{1}{12} \cdot 4 + 1$

Paso 1.2.1.1.5.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{4 \cdot 3} (4 x) + \frac{1}{12} \cdot 4 + 1$

Paso 1.2.1.1.5.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{3} x + \frac{1}{12} \cdot 4 + 1$

Paso 1.2.1.1.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} + \frac{1}{12} \cdot 4 + 1$

Paso 1.2.1.1.5.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.1.1.5.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} + \frac{1}{4 (3)} \cdot 4 + 1$

Paso 1.2.1.1.5.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot 4 + 1$

Paso 1.2.1.1.5.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} + 1$

Paso 1.2.1.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

Paso 1.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} + \frac{1 + 3}{3}$

Paso 1.2.1.4

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} + \frac{4}{3}$

Paso 1.2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{12}$

$b = \frac{1}{3}$

$c = \frac{4}{3}$

Paso 1.2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{1}{3}}{2 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{12}$ .

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{12}}$

Paso 1.2.4.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $12$ .

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Paso 1.2.4.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}}$

Paso 1.2.4.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Paso 1.2.4.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Paso 1.2.4.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Paso 1.2.4.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{1}{3} (1 \cdot 6)$

Paso 1.2.4.2.5

Multiplica $6$ por $1$ .

$d = \frac{1}{3} \cdot 6$

Paso 1.2.4.2.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.4.2.6.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$d = \frac{1}{3} \cdot (3 (2))$

Paso 1.2.4.2.6.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Paso 1.2.4.2.6.3

Reescribe la expresión.

$d = 2$

Paso 1.2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{1^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{12}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4}{12}}$

Paso 1.2.5.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

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Paso 1.2.5.2.1.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4 (1)}{12}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.5.2.1.3.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}}$

Paso 1.2.5.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{1}{9} \cdot 3)$

Paso 1.2.5.2.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.5.2.1.5.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$e = \frac{4}{3} - (\frac{1}{3 (3)} \cdot 3)$

Paso 1.2.5.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

Paso 1.2.5.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{4}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 1.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{4 - 1}{3}$

Paso 1.2.5.2.3

Resta $1$ de $4$ .

$e = \frac{3}{3}$

Paso 1.2.5.2.4

Divide $3$ por $3$ .

$e = 1$

Paso 1.2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{12} {(x + 2)}^{2} + 1$ .

$\frac{1}{12} {(x + 2)}^{2} + 1$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = \frac{1}{12} \cdot {(x + 2)}^{2} + 1$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{12}$

$h = - 2$

$k = 1$

Paso 3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 2, 1)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{12}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{12}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{12}}$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{12}}$

Paso 5.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 5.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 5.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 \cdot 3$

Paso 5.3.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2, 4)$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - 2$

Paso 8

Obtén la directriz.

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Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - 2$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 2, 1)$

Foco: $(- 2, 4)$

Eje de simetría: $x = - 2$

Directriz: $y = - 2$

Paso 10