Precálculo Ejemplos

${(y - 7)}^{2} = 16 (x + 6)$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Reescribe la ecuación como $16 (x + 6) = {(y - 7)}^{2}$ .

$16 (x + 6) = {(y - 7)}^{2}$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $16 (x + 6) = {(y - 7)}^{2}$ por $16$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $16 (x + 6) = {(y - 7)}^{2}$ por $16$ .

$\frac{16 (x + 6)}{16} = \frac{{(y - 7)}^{2}}{16}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{16 (x + 6)}{16} = \frac{{(y - 7)}^{2}}{16}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $x + 6$ por $1$ .

$x + 6 = \frac{{(y - 7)}^{2}}{16}$

Paso 1.1.3

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{{(y - 7)}^{2}}{16} - 6$

Paso 1.1.4

Reordena los términos.

$x = \frac{1}{16} \cdot {(y - 7)}^{2} - 6$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{1}{16} \cdot {(y - 7)}^{2} - 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1.1

Reescribe ${(y - 7)}^{2}$ como $(y - 7) (y - 7)$ .

$\frac{1}{16} \cdot ((y - 7) (y - 7)) - 6$

Paso 1.2.1.1.2

Expande $(y - 7) (y - 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{16} \cdot (y (y - 7) - 7 (y - 7)) - 6$

Paso 1.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{16} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 7 - 7 (y - 7)) - 6$

Paso 1.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{16} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 7 - 7 y - 7 \cdot - 7) - 6$

Paso 1.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{1}{16} \cdot (y^{2} + y \cdot - 7 - 7 y - 7 \cdot - 7) - 6$

Paso 1.2.1.1.3.1.2

Mueve $- 7$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{1}{16} \cdot (y^{2} - 7 \cdot y - 7 y - 7 \cdot - 7) - 6$

Paso 1.2.1.1.3.1.3

Multiplica $- 7$ por $- 7$ .

$\frac{1}{16} \cdot (y^{2} - 7 y - 7 y + 49) - 6$

Paso 1.2.1.1.3.2

Resta $7 y$ de $- 7 y$ .

$\frac{1}{16} \cdot (y^{2} - 14 y + 49) - 6$

Paso 1.2.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{16} y^{2} + \frac{1}{16} (- 14 y) + \frac{1}{16} \cdot 49 - 6$

Paso 1.2.1.1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1.5.1

Combina $\frac{1}{16}$ y $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{1}{16} (- 14 y) + \frac{1}{16} \cdot 49 - 6$

Paso 1.2.1.1.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1.5.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{1}{2 (8)} (- 14 y) + \frac{1}{16} \cdot 49 - 6$

Paso 1.2.1.1.5.2.2

Factoriza $2$ de $- 14 y$ .

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{1}{2 (8)} (2 (- 7 y)) + \frac{1}{16} \cdot 49 - 6$

Paso 1.2.1.1.5.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{1}{2 \cdot 8} (2 (- 7 y)) + \frac{1}{16} \cdot 49 - 6$

Paso 1.2.1.1.5.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{1}{8} (- 7 y) + \frac{1}{16} \cdot 49 - 6$

Paso 1.2.1.1.5.3

Combina $- 7$ y $\frac{1}{8}$ .

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{- 7}{8} y + \frac{1}{16} \cdot 49 - 6$

Paso 1.2.1.1.5.4

Combina $\frac{- 7}{8}$ y $y$ .

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{- 7 y}{8} + \frac{1}{16} \cdot 49 - 6$

Paso 1.2.1.1.5.5

Combina $\frac{1}{16}$ y $49$ .

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{- 7 y}{8} + \frac{49}{16} - 6$

Paso 1.2.1.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{7 y}{8} + \frac{49}{16} - 6$

Paso 1.2.1.2

Para escribir $- 6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{16}{16}$ .

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{7 y}{8} + \frac{49}{16} - 6 \cdot \frac{16}{16}$

Paso 1.2.1.3

Combina $- 6$ y $\frac{16}{16}$ .

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{7 y}{8} + \frac{49}{16} + \frac{- 6 \cdot 16}{16}$

Paso 1.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{7 y}{8} + \frac{49 - 6 \cdot 16}{16}$

Paso 1.2.1.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.5.1

Multiplica $- 6$ por $16$ .

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{7 y}{8} + \frac{49 - 96}{16}$

Paso 1.2.1.5.2

Resta $96$ de $49$ .

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{7 y}{8} + \frac{- 47}{16}$

Paso 1.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{7 y}{8} - \frac{47}{16}$

Paso 1.2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{16}$

$b = - \frac{7}{8}$

$c = - \frac{47}{16}$

Paso 1.2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{7}{8}}{2 (\frac{1}{16})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{16})}$

Paso 1.2.4.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{16}$ .

$d = - \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2}{16}}$

Paso 1.2.4.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = - \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{16}}$

Paso 1.2.4.2.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$d = - \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}}$

Paso 1.2.4.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$d = - \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}}$

Paso 1.2.4.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$d = - \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{1}{8}}$

Paso 1.2.4.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{7}{8} (1 \cdot 8)$

Paso 1.2.4.2.5

Cancela el factor común de $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7}{8}$ al numerador.

$d = \frac{- 7}{8} (1 \cdot 8)$

Paso 1.2.4.2.5.2

Factoriza $8$ de $1 \cdot 8$ .

$d = \frac{- 7}{8} (8 \cdot 1)$

Paso 1.2.4.2.5.3

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 7}{8} (8 \cdot 1)$

Paso 1.2.4.2.5.4

Reescribe la expresión.

$d = - 7$

Paso 1.2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{47}{16} - \frac{{(- \frac{7}{8})}^{2}}{4 (\frac{1}{16})}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.2.1.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{7}{8}$ .

$e = - \frac{47}{16} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{7}{8})}^{2}}{4 (\frac{1}{16})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{47}{16} - \frac{1 {(\frac{7}{8})}^{2}}{4 (\frac{1}{16})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{8}$ .

$e = - \frac{47}{16} - \frac{1 \frac{7^{2}}{8^{2}}}{4 (\frac{1}{16})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.4

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{47}{16} - \frac{1 \frac{49}{8^{2}}}{4 (\frac{1}{16})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.5

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{47}{16} - \frac{1 (\frac{49}{64})}{4 (\frac{1}{16})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.6

Multiplica $\frac{49}{64}$ por $1$ .

$e = - \frac{47}{16} - \frac{\frac{49}{64}}{4 (\frac{1}{16})}$

Paso 1.2.5.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{16}$ .

$e = - \frac{47}{16} - \frac{\frac{49}{64}}{\frac{4}{16}}$

Paso 1.2.5.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ y $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.2.1.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$e = - \frac{47}{16} - \frac{\frac{49}{64}}{\frac{4 (1)}{16}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.2.1.3.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$e = - \frac{47}{16} - \frac{\frac{49}{64}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e = - \frac{47}{16} - \frac{\frac{49}{64}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e = - \frac{47}{16} - \frac{\frac{49}{64}}{\frac{1}{4}}$

Paso 1.2.5.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = - \frac{47}{16} - (\frac{49}{64} \cdot 4)$

Paso 1.2.5.2.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.2.1.5.1

Factoriza $4$ de $64$ .

$e = - \frac{47}{16} - (\frac{49}{4 (16)} \cdot 4)$

Paso 1.2.5.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$e = - \frac{47}{16} - (\frac{49}{4 \cdot 16} \cdot 4)$

Paso 1.2.5.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$e = - \frac{47}{16} - \frac{49}{16}$

Paso 1.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 47 - 49}{16}$

Paso 1.2.5.2.3

Resta $49$ de $- 47$ .

$e = \frac{- 96}{16}$

Paso 1.2.5.2.4

Divide $- 96$ por $16$ .

$e = - 6$

Paso 1.2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{16} {(y - 7)}^{2} - 6$ .

$\frac{1}{16} {(y - 7)}^{2} - 6$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = \frac{1}{16} \cdot {(y - 7)}^{2} - 6$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{16}$

$h = - 6$

$k = 7$

Paso 3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 6, 7)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{16}}$

Paso 5.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{16}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{16}}$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común de $4$ y $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{16}}$

Paso 5.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Paso 5.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Paso 5.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\frac{1}{4}}$

Paso 5.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 \cdot 4$

Paso 5.3.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 6

Obtén el foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2, 7)$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = 7$

Paso 8

Obtén la directriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = - 10$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- 6, 7)$

Foco: $(- 2, 7)$

Eje de simetría: $y = 7$

Directriz: $x = - 10$

Paso 10