Precálculo Ejemplos

${(y + 5)}^{2} = - 6 x + 12$

Paso 1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación como $- 6 x + 12 = {(y + 5)}^{2}$ .

$- 6 x + 12 = {(y + 5)}^{2}$

Paso 1.2

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$- 6 x = {(y + 5)}^{2} - 12$

Paso 1.3

Divide cada término en $- 6 x = {(y + 5)}^{2} - 12$ por $- 6$ y simplifica.

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Paso 1.3.1

Divide cada término en $- 6 x = {(y + 5)}^{2} - 12$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{{(y + 5)}^{2}}{- 6} + \frac{- 12}{- 6}$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{{(y + 5)}^{2}}{- 6} + \frac{- 12}{- 6}$

Paso 1.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{{(y + 5)}^{2}}{- 6} + \frac{- 12}{- 6}$

Paso 1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{{(y + 5)}^{2}}{6} + \frac{- 12}{- 6}$

Paso 1.3.3.1.2

Divide $- 12$ por $- 6$ .

$x = - \frac{{(y + 5)}^{2}}{6} + 2$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$x = - \frac{1}{6} \cdot {(y + 5)}^{2} + 2$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{6}$

$h = 2$

$k = - 5$

Paso 3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia la izquierda.

Abre hacia la izquierda

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(2, - 5)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 5.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

Paso 5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{6})}$

Paso 5.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{6}}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $4$ y $6$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{1}{\frac{2 (2)}{6}}$

Paso 5.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

Paso 5.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

Paso 5.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Paso 5.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (1 (\frac{3}{2}))$

Paso 5.3.5

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$- \frac{3}{2}$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{1}{2}, - 5)$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = - 5$

Paso 8

Obtén la directriz.

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Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = \frac{7}{2}$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(2, - 5)$

Foco: $(\frac{1}{2}, - 5)$

Eje de simetría: $y = - 5$

Directriz: $x = \frac{7}{2}$

Paso 10