Precálculo Ejemplos

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{81} - \frac{{(y + 5)}^{2}}{144} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{81} - \frac{{(y + 5)}^{2}}{144} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 9$

$b = 12$

$k = - 5$

$h = 3$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(3, - 5)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(9)}^{2} + {(12)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{81 + {(12)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{81 + 144}$

Paso 5.3.3

Suma $81$ y $144$ .

$\sqrt{225}$

Paso 5.3.4

Reescribe $225$ como $15^{2}$ .

$\sqrt{15^{2}}$

Paso 5.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$15$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(12, - 5)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 6, - 5)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm a, k)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(12, - 5), (- 6, - 5)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(18, - 5)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 12, - 5)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(18, - 5), (- 12, - 5)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(9)}^{2} + {(12)}^{2}}}{9}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{81 + 12^{2}}}{9}$

Paso 8.3.1.2

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{81 + 144}}{9}$

Paso 8.3.1.3

Suma $81$ y $144$ .

$\frac{\sqrt{225}}{9}$

Paso 8.3.1.4

Reescribe $225$ como $15^{2}$ .

$\frac{\sqrt{15^{2}}}{9}$

Paso 8.3.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{15}{9}$

Paso 8.3.2

Cancela el factor común de $15$ y $9$ .

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Paso 8.3.2.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$\frac{3 (5)}{9}$

Paso 8.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 3}$

Paso 8.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 3}$

Paso 8.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{3}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{12^{2}}{15}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$\frac{144}{15}$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común de $144$ y $15$ .

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Paso 9.3.2.1

Factoriza $3$ de $144$ .

$\frac{3 (48)}{15}$

Paso 9.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$\frac{3 \cdot 48}{3 \cdot 5}$

Paso 9.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 48}{3 \cdot 5}$

Paso 9.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{48}{5}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 5$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 5$

Paso 11.2

Simplifica $\frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 5$ .

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - 3) - 5$

Paso 11.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot - 3 - 5$

Paso 11.2.1.3

Combina $\frac{4}{3}$ y $x$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot - 3 - 5$

Paso 11.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.2.1.4.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (- 1)) - 5$

Paso 11.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 \cdot - 1) - 5$

Paso 11.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{4 x}{3} + 4 \cdot - 1 - 5$

Paso 11.2.1.5

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$y = \frac{4 x}{3} - 4 - 5$

Paso 11.2.2

Resta $5$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 x}{3} - 9$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 5$

Paso 12.2

Simplifica $- \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 5$ .

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - 3) - 5$

Paso 12.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 3 - 5$

Paso 12.2.1.3

Combina $x$ y $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 3 - 5$

Paso 12.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.2.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{3}$ al numerador.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot - 3 - 5$

Paso 12.2.1.4.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot (3 (- 1)) - 5$

Paso 12.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot (3 \cdot - 1) - 5$

Paso 12.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - 4 \cdot - 1 - 5$

Paso 12.2.1.5

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + 4 - 5$

Paso 12.2.1.6

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + 4 - 5$

Paso 12.2.2

Resta $5$ de $4$ .

$y = - \frac{4 x}{3} - 1$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{4 x}{3} - 9, y = - \frac{4 x}{3} - 1$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(3, - 5)$

Vértices: $(12, - 5), (- 6, - 5)$

Focos: $(18, - 5), (- 12, - 5)$

Excentricidad: $\frac{5}{3}$

Parámetro focal: $\frac{48}{5}$

Asíntotas: $y = \frac{4 x}{3} - 9$ , $y = - \frac{4 x}{3} - 1$

Paso 15