Precálculo Ejemplos

$y^{2} = 5 (x + 2 y)$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Reescribe la ecuación como $5 (x + 2 y) = y^{2}$ .

$5 (x + 2 y) = y^{2}$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $5 (x + 2 y) = y^{2}$ por $5$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $5 (x + 2 y) = y^{2}$ por $5$ .

$\frac{5 (x + 2 y)}{5} = \frac{y^{2}}{5}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 (x + 2 y)}{5} = \frac{y^{2}}{5}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $x + 2 y$ por $1$ .

$x + 2 y = \frac{y^{2}}{5}$

Paso 1.1.3

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{y^{2}}{5} - 2 y$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{y^{2}}{5} - 2 y$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{5}$

$b = - 2$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{\frac{1}{5}}$

Paso 1.2.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - 1 \cdot 5$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$d = - 5$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{5}$ .

$e = 0 - \frac{4}{\frac{4}{5}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = 0 - (4 (\frac{5}{4}))$

Paso 1.2.4.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.4.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$e = 0 - (4 (\frac{5}{4}))$

Paso 1.2.4.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$e = 0 - 1 \cdot 5$

Paso 1.2.4.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$e = 0 - 5$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $5$ de $0$ .

$e = - 5$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{5} {(y - 5)}^{2} - 5$ .

$\frac{1}{5} {(y - 5)}^{2} - 5$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = \frac{1}{5} \cdot {(y - 5)}^{2} - 5$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{5}$

$h = - 5$

$k = 5$

Paso 3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 5, 5)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{5}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{5}}$

Paso 5.3.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 (\frac{5}{4})$

Paso 5.3.3

Multiplica $\frac{5}{4}$ por $1$ .

$\frac{5}{4}$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{15}{4}, 5)$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = 5$

Paso 8

Obtén la directriz.

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Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = - \frac{25}{4}$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- 5, 5)$

Foco: $(- \frac{15}{4}, 5)$

Eje de simetría: $y = 5$

Directriz: $x = - \frac{25}{4}$

Paso 10