Precálculo Ejemplos

$y^{2} - 10 y + 4 x + 25 = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 10 y + 4 x + 25 = - y^{2}$

Paso 1.1.1.2

Suma $10 y$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x + 25 = - y^{2} + 10 y$

Paso 1.1.1.3

Resta $25$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = - y^{2} + 10 y - 25$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $4 x = - y^{2} + 10 y - 25$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $4 x = - y^{2} + 10 y - 25$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $10$ y $4$ .

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Paso 1.1.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $10 y$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 (5 y)}{4} + \frac{- 25}{4}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.3.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 (5 y)}{2 (2)} + \frac{- 25}{4}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 (5 y)}{2 \cdot 2} + \frac{- 25}{4}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} + \frac{- 25}{4}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} - \frac{25}{4}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} - \frac{25}{4}$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = \frac{5}{2}$

$c = - \frac{25}{4}$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{5}{2}}{2 (- \frac{1}{4})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{5}{2} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{4})}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{4})})$

Paso 1.2.3.2.3

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2}{4}})$

Paso 1.2.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 1.2.3.2.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}})$

Paso 1.2.3.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}})$

Paso 1.2.3.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}})$

Paso 1.2.3.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{1}{2}})$

Paso 1.2.3.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{5}{2} (- (1 \cdot 2))$

Paso 1.2.3.2.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.6.1

Factoriza $2$ de $- (1 \cdot 2)$ .

$d = \frac{5}{2} (2 (- 1 \cdot (1)))$

Paso 1.2.3.2.6.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{5}{2} (2 (- 1 \cdot (1)))$

Paso 1.2.3.2.6.3

Reescribe la expresión.

$d = 5 (- 1 \cdot (1))$

Paso 1.2.3.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$d = 5 \cdot - 1$

Paso 1.2.3.2.8

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$d = - 5$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{5^{2}}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{4}$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{\frac{- 4}{4}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $- 4$ por $4$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{- 1}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{25}{4}}{- 1}$ .

$e = - \frac{25}{4} - (- 1 \cdot \frac{25}{4})$

Paso 1.2.4.2.1.5

Reescribe $- 1 \cdot \frac{25}{4}$ como $- \frac{25}{4}$ .

$e = - \frac{25}{4} - - \frac{25}{4}$

Paso 1.2.4.2.1.6

Multiplica $- - \frac{25}{4}$ .

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Paso 1.2.4.2.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = - \frac{25}{4} + 1 (\frac{25}{4})$

Paso 1.2.4.2.1.6.2

Multiplica $\frac{25}{4}$ por $1$ .

$e = - \frac{25}{4} + \frac{25}{4}$

Paso 1.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 25 + 25}{4}$

Paso 1.2.4.2.3

Suma $- 25$ y $25$ .

$e = \frac{0}{4}$

Paso 1.2.4.2.4

Divide $0$ por $4$ .

$e = 0$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{4} {(y - 5)}^{2} + 0$ .

$- \frac{1}{4} {(y - 5)}^{2} + 0$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = - \frac{1}{4} \cdot {(y - 5)}^{2} + 0$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 0$

$k = 5$

Paso 3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia la izquierda.

Abre hacia la izquierda

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(0, 5)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 5.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Paso 5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 5.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Paso 5.3.3

Divide $4$ por $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{1}$

Paso 5.3.4.2

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 1$

Paso 5.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 1, 5)$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = 5$

Paso 8

Obtén la directriz.

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Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = 1$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(0, 5)$

Foco: $(- 1, 5)$

Eje de simetría: $y = 5$

Directriz: $x = 1$

Paso 10