Precálculo Ejemplos

$y^{2} - 3 y - x + 5 = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 y - x + 5 = - y^{2}$

Paso 1.1.1.2

Suma $3 y$ a ambos lados de la ecuación.

$- x + 5 = - y^{2} + 3 y$

Paso 1.1.1.3

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - y^{2} + 3 y - 5$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $- x = - y^{2} + 3 y - 5$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $- x = - y^{2} + 3 y - 5$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Paso 1.1.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{y^{2}}{1} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$x = y^{2} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{3 y}{- 1}$ .

$x = y^{2} - 1 \cdot (3 y) + \frac{- 5}{- 1}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot (3 y)$ como $- (3 y)$ .

$x = y^{2} - (3 y) + \frac{- 5}{- 1}$

Paso 1.1.2.3.1.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x = y^{2} - 3 y + \frac{- 5}{- 1}$

Paso 1.1.2.3.1.6

Divide $- 5$ por $- 1$ .

$x = y^{2} - 3 y + 5$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $y^{2} - 3 y + 5$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 3$

$c = 5$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$d = \frac{- 3}{2}$

Paso 1.2.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{3}{2}$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$e = 5 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 5 - \frac{9}{4}$

Paso 1.2.4.2.2

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$e = 5 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

Paso 1.2.4.2.3

Combina $5$ y $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{5 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}$

Paso 1.2.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{5 \cdot 4 - 9}{4}$

Paso 1.2.4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.5.1

Multiplica $5$ por $4$ .

$e = \frac{20 - 9}{4}$

Paso 1.2.4.2.5.2

Resta $9$ de $20$ .

$e = \frac{11}{4}$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{11}{4}$ .

${(y - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{11}{4}$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = {(y - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{11}{4}$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 1$

$h = \frac{11}{4}$

$k = \frac{3}{2}$

Paso 3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(\frac{11}{4}, \frac{3}{2})$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(3, \frac{3}{2})$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = \frac{3}{2}$

Paso 8

Obtén la directriz.

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Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = \frac{5}{2}$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(\frac{11}{4}, \frac{3}{2})$

Foco: $(3, \frac{3}{2})$

Eje de simetría: $y = \frac{3}{2}$

Directriz: $x = \frac{5}{2}$

Paso 10