Precálculo Ejemplos

$16 x^{2} - y^{2} - 96 x - 10 y + 123 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Resta $123$ de ambos lados de la ecuación.

$16 x^{2} - y^{2} - 96 x - 10 y = - 123$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $16 x^{2} - 96 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 16$

$b = - 96$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 96}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 96$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 96$ .

$d = \frac{2 \cdot - 48}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 48}{2 (16)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 48}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 48}{16}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 48$ y $16$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $16$ de $- 48$ .

$d = \frac{16 \cdot - 3}{16}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $16$ de $16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 3}{16 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{16 \cdot - 3}{16 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 3}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $- 3$ por $1$ .

$d = - 3$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 96)}^{2}}{4 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 96$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{9216}{4 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $16$ .

$e = 0 - \frac{9216}{64}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $9216$ por $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $144$ .

$e = 0 - 144$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $144$ de $0$ .

$e = - 144$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $16 {(x - 3)}^{2} - 144$ .

$16 {(x - 3)}^{2} - 144$

Paso 1.3

Sustituye $16 {(x - 3)}^{2} - 144$ por $16 x^{2} - 96 x$ en la ecuación $16 x^{2} - y^{2} - 96 x - 10 y = - 123$ .

$16 {(x - 3)}^{2} - 144 - y^{2} - 10 y = - 123$

Paso 1.4

Mueve $- 144$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $144$ a ambos lados.

$16 {(x - 3)}^{2} - y^{2} - 10 y = - 123 + 144$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $- y^{2} - 10 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = - 10$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 10$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 5$

Paso 1.5.3.2.2

Reescribe $- 1 \cdot - 5$ como $- - 5$ .

$d = - - 5$

Paso 1.5.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$d = 5$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 0 - \frac{100}{- 4}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $100$ por $- 4$ .

$e = 0 - - 25$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 25$ .

$e = 0 + 25$

Paso 1.5.4.2.2

Suma $0$ y $25$ .

$e = 25$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(y + 5)}^{2} + 25$ .

$- {(y + 5)}^{2} + 25$

Paso 1.6

Sustituye $- {(y + 5)}^{2} + 25$ por $- y^{2} - 10 y$ en la ecuación $16 x^{2} - y^{2} - 96 x - 10 y = - 123$ .

$16 {(x - 3)}^{2} - {(y + 5)}^{2} + 25 = - 123 + 144$

Paso 1.7

Mueve $25$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $25$ a ambos lados.

$16 {(x - 3)}^{2} - {(y + 5)}^{2} = - 123 + 144 - 25$

Paso 1.8

Simplifica $- 123 + 144 - 25$ .

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Paso 1.8.1

Suma $- 123$ y $144$ .

$16 {(x - 3)}^{2} - {(y + 5)}^{2} = 21 - 25$

Paso 1.8.2

Resta $25$ de $21$ .

$16 {(x - 3)}^{2} - {(y + 5)}^{2} = - 4$

Paso 1.9

Da la vuelta al signo de cada término de la ecuación para que el término del lado derecho sea positivo.

$- 16 {(x - 3)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 4$

Paso 1.10

Divide cada término por $4$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$- \frac{16 {(x - 3)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Paso 1.11

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 2$

$b = \frac{1}{2}$

$k = - 5$

$h = 3$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(3, - 5)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{4 + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{4 + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Paso 5.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{4 + \frac{1}{2^{2}}}$

Paso 5.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{4 + \frac{1}{4}}$

Paso 5.3.5

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

Paso 5.3.6

Combina $4$ y $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}}$

Paso 5.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 4 + 1}{4}}$

Paso 5.3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.8.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{16 + 1}{4}}$

Paso 5.3.8.2

Suma $16$ y $1$ .

$\sqrt{\frac{17}{4}}$

Paso 5.3.9

Reescribe $\sqrt{\frac{17}{4}}$ como $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{4}}$

Paso 5.3.10

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.10.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 5.3.10.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{17}}{2}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(3, - 3)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(3, - 7)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm a)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(3, - 3), (3, - 7)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(3, - 5 + \frac{\sqrt{17}}{2})$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(3, - 5 - \frac{\sqrt{17}}{2})$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(3, - 5 + \frac{\sqrt{17}}{2}), (3, - 5 - \frac{\sqrt{17}}{2})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}}{2}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + {(\frac{1}{2})}^{2}}}{2}$

Paso 8.3.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \frac{1^{2}}{2^{2}}}}{2}$

Paso 8.3.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\sqrt{4 + \frac{1}{2^{2}}}}{2}$

Paso 8.3.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + \frac{1}{4}}}{2}$

Paso 8.3.1.5

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}}}{2}$

Paso 8.3.1.6

Combina $4$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}}}{2}$

Paso 8.3.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{\frac{4 \cdot 4 + 1}{4}}}{2}$

Paso 8.3.1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.8.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{\frac{16 + 1}{4}}}{2}$

Paso 8.3.1.8.2

Suma $16$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{17}{4}}}{2}$

Paso 8.3.1.9

Reescribe $\sqrt{\frac{17}{4}}$ como $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{4}}}{2}$

Paso 8.3.1.10

Simplifica el denominador.

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Paso 8.3.1.10.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{2^{2}}}}{2}$

Paso 8.3.1.10.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\frac{\sqrt{17}}{2}}{2}$

Paso 8.3.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\sqrt{17}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 8.3.3

Multiplica $\frac{\sqrt{17}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 8.3.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{17}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.3.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{17}}{4}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{\frac{\frac{1}{2^{2}}}{\sqrt{17}}}{2}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\frac{1}{2^{2}}}{\sqrt{17}} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 9.3.2

Combinar.

$\frac{\frac{1}{2^{2}} \cdot 1}{\sqrt{17} \cdot 2}$

Paso 9.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 9.3.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{\sqrt{17} \cdot 2}$

Paso 9.3.3.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{17} \cdot 2}$

Paso 9.3.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{17}$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{2 \sqrt{17}}$

Paso 9.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{17}}$

Paso 9.3.5

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{17}}$ por $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2 \sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}})$

Paso 9.3.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.6.1

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{17}}$ por $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 \sqrt{17} \sqrt{17}}$

Paso 9.3.6.2

Mueve $\sqrt{17}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 (\sqrt{17} \sqrt{17})}$

Paso 9.3.6.3

Eleva $\sqrt{17}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 ({\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17})}$

Paso 9.3.6.4

Eleva $\sqrt{17}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 ({\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1})}$

Paso 9.3.6.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 {\sqrt{17}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.6.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 {\sqrt{17}}^{2}}$

Paso 9.3.6.7

Reescribe ${\sqrt{17}}^{2}$ como $17$ .

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Paso 9.3.6.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{17}$ como $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 {(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.6.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 \cdot 17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.6.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 \cdot 17^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.6.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.6.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 \cdot 17^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.6.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 \cdot 17^{1}}$

Paso 9.3.6.7.5

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 \cdot 17}$

Paso 9.3.7

Multiplica $2$ por $17$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{34}$

Paso 9.3.8

Multiplica $\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{34}$ .

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Paso 9.3.8.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{\sqrt{17}}{34}$ .

$\frac{\sqrt{17}}{4 \cdot 34}$

Paso 9.3.8.2

Multiplica $4$ por $34$ .

$\frac{\sqrt{17}}{136}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ porque esta hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo.

$y = \pm 4 \cdot (x - (3)) - 5$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = 4 \cdot (x - (3)) - 5$

Paso 11.2

Simplifica $4 \cdot (x - (3)) - 5$ .

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y = 4 \cdot (x - 3) - 5$

Paso 11.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 4 x + 4 \cdot - 3 - 5$

Paso 11.2.1.3

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$y = 4 x - 12 - 5$

Paso 11.2.2

Resta $5$ de $- 12$ .

$y = 4 x - 17$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - 4 \cdot (x - (3)) - 5$

Paso 12.2

Simplifica $- 4 \cdot (x - (3)) - 5$ .

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y = - 4 \cdot (x - 3) - 5$

Paso 12.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - 4 x - 4 \cdot - 3 - 5$

Paso 12.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$y = - 4 x + 12 - 5$

Paso 12.2.2

Resta $5$ de $12$ .

$y = - 4 x + 7$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = 4 x - 17, y = - 4 x + 7$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(3, - 5)$

Vértices: $(3, - 3), (3, - 7)$

Focos: $(3, - 5 + \frac{\sqrt{17}}{2}), (3, - 5 - \frac{\sqrt{17}}{2})$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{17}}{4}$

Parámetro focal: $\frac{\sqrt{17}}{136}$

Asíntotas: $y = 4 x - 17$ , $y = - 4 x + 7$

Paso 15