Precálculo Ejemplos

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x - 72 y - 129 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Suma $129$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x - 72 y = 129$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $4 x^{2} - 16 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 4$

$b = - 16$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 16$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 8}{4}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 8$ y $4$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $- 8$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $256$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$e = 0 - 16$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$

Paso 1.3

Sustituye $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ por $4 x^{2} - 16 x$ en la ecuación $4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x - 72 y = 129$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 - 9 y^{2} - 72 y = 129$

Paso 1.4

Mueve $- 16$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $16$ a ambos lados.

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 y^{2} - 72 y = 129 + 16$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $- 9 y^{2} - 72 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 9$

$b = - 72$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 72}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 72$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 72$ .

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 (- 9)}$

Paso 1.5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 36}{- 9}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $- 36$ y $- 9$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Factoriza $- 9$ de $- 36$ .

$d = \frac{- 9 (4)}{- 9}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.2.2.1

Factoriza $- 9$ de $- 9$ .

$d = \frac{- 9 \cdot 4}{- 9 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 9 \cdot 4}{- 9 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{4}{1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$d = 4$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 72)}^{2}}{4 \cdot - 9}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 72$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{5184}{4 \cdot - 9}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 9$ .

$e = 0 - \frac{5184}{- 36}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $5184$ por $- 36$ .

$e = 0 - - 144$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 144$ .

$e = 0 + 144$

Paso 1.5.4.2.2

Suma $0$ y $144$ .

$e = 144$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 9 {(y + 4)}^{2} + 144$ .

$- 9 {(y + 4)}^{2} + 144$

Paso 1.6

Sustituye $- 9 {(y + 4)}^{2} + 144$ por $- 9 y^{2} - 72 y$ en la ecuación $4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x - 72 y = 129$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 4)}^{2} + 144 = 129 + 16$

Paso 1.7

Mueve $144$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $144$ a ambos lados.

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 4)}^{2} = 129 + 16 - 144$

Paso 1.8

Simplifica $129 + 16 - 144$ .

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Paso 1.8.1

Suma $129$ y $16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 4)}^{2} = 145 - 144$

Paso 1.8.2

Resta $144$ de $145$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 4)}^{2} = 1$

Paso 1.9

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{\frac{1}{4}} - \frac{{(y + 4)}^{2}}{\frac{1}{9}} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = \frac{1}{3}$

$k = - 4$

$h = 2$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(2, - 4)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 5.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 5.3.4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Paso 5.3.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{3^{2}}}$

Paso 5.3.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{9}}$

Paso 5.3.7

Para escribir $\frac{1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9}}$

Paso 5.3.8

Para escribir $\frac{1}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 5.3.9

Escribe cada expresión con un denominador común de $36$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.9.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 5.3.9.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 5.3.9.3

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{4}{9 \cdot 4}}$

Paso 5.3.9.4

Multiplica $9$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{4}{36}}$

Paso 5.3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{9 + 4}{36}}$

Paso 5.3.11

Suma $9$ y $4$ .

$\sqrt{\frac{13}{36}}$

Paso 5.3.12

Reescribe $\sqrt{\frac{13}{36}}$ como $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$

Paso 5.3.13

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.13.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{6^{2}}}$

Paso 5.3.13.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{13}}{6}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{5}{2}, - 4)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{3}{2}, - 4)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm a, k)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(\frac{5}{2}, - 4), (\frac{3}{2}, - 4)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(2 + \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(2 - \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(2 + \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4), (2 - \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}}{\frac{1}{2}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Paso 8.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Paso 8.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Paso 8.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Paso 8.3.5

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{3^{2}}} \cdot 2$

Paso 8.3.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{3^{2}}} \cdot 2$

Paso 8.3.7

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{9}} \cdot 2$

Paso 8.3.8

Para escribir $\frac{1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9}} \cdot 2$

Paso 8.3.9

Para escribir $\frac{1}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Paso 8.3.10

Escribe cada expresión con un denominador común de $36$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.3.10.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Paso 8.3.10.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Paso 8.3.10.3

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{4}{9 \cdot 4}} \cdot 2$

Paso 8.3.10.4

Multiplica $9$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{4}{36}} \cdot 2$

Paso 8.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{9 + 4}{36}} \cdot 2$

Paso 8.3.12

Suma $9$ y $4$ .

$\sqrt{\frac{13}{36}} \cdot 2$

Paso 8.3.13

Reescribe $\sqrt{\frac{13}{36}}$ como $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}} \cdot 2$

Paso 8.3.14

Simplifica el denominador.

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Paso 8.3.14.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{6^{2}}} \cdot 2$

Paso 8.3.14.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{13}}{6} \cdot 2$

Paso 8.3.15

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.15.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{\sqrt{13}}{2 (3)} \cdot 2$

Paso 8.3.15.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{13}}{2 \cdot 3} \cdot 2$

Paso 8.3.15.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{13}}{3}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{\frac{\frac{1}{3^{2}}}{\sqrt{13}}}{6}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\frac{1}{3^{2}}}{\sqrt{13}} \cdot \frac{1}{6}$

Paso 9.3.2

Combinar.

$\frac{\frac{1}{3^{2}} \cdot 1}{\sqrt{13} \cdot 6}$

Paso 9.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 9.3.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\frac{1}{9} \cdot 1}{\sqrt{13} \cdot 6}$

Paso 9.3.3.2

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $1$ .

$\frac{\frac{1}{9}}{\sqrt{13} \cdot 6}$

Paso 9.3.3.3

Mueve $6$ a la izquierda de $\sqrt{13}$ .

$\frac{\frac{1}{9}}{6 \sqrt{13}}$

Paso 9.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{6 \sqrt{13}}$

Paso 9.3.5

Multiplica $\frac{1}{6 \sqrt{13}}$ por $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{6 \sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}})$

Paso 9.3.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.6.1

Multiplica $\frac{1}{6 \sqrt{13}}$ por $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \sqrt{13} \sqrt{13}}$

Paso 9.3.6.2

Mueve $\sqrt{13}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 (\sqrt{13} \sqrt{13})}$

Paso 9.3.6.3

Eleva $\sqrt{13}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 ({\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13})}$

Paso 9.3.6.4

Eleva $\sqrt{13}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 ({\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1})}$

Paso 9.3.6.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.6.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {\sqrt{13}}^{2}}$

Paso 9.3.6.7

Reescribe ${\sqrt{13}}^{2}$ como $13$ .

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Paso 9.3.6.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{13}$ como $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.6.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.6.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.6.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.6.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.6.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{1}}$

Paso 9.3.6.7.5

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13}$

Paso 9.3.7

Multiplica $6$ por $13$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{78}$

Paso 9.3.8

Multiplica $\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{78}$ .

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Paso 9.3.8.1

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{\sqrt{13}}{78}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{9 \cdot 78}$

Paso 9.3.8.2

Multiplica $9$ por $78$ .

$\frac{\sqrt{13}}{702}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

$y = \pm \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$

Paso 11.2

Simplifica $\frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - 2) - 4$

Paso 11.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 2 - 4$

Paso 11.2.1.3

Combina $\frac{2}{3}$ y $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 2 - 4$

Paso 11.2.1.4

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Paso 11.2.1.4.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{3} - 4$

Paso 11.2.1.4.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4}{3} - 4$

Paso 11.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} - 4$

Paso 11.2.2

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 11.2.3

Combina $- 4$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Paso 11.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 - 4 \cdot 3}{3}$

Paso 11.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.5.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 - 12}{3}$

Paso 11.2.5.2

Resta $12$ de $- 4$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 16}{3}$

Paso 11.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{16}{3}$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$

Paso 12.2

Simplifica $- \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$ .

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x - 2) - 4$

Paso 12.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} \cdot - 2 - 4$

Paso 12.2.1.3

Combina $x$ y $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} \cdot - 2 - 4$

Paso 12.2.1.4

Multiplica $- \frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Paso 12.2.1.4.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + 2 (\frac{2}{3}) - 4$

Paso 12.2.1.4.2

Combina $2$ y $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{2 \cdot 2}{3} - 4$

Paso 12.2.1.4.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{4}{3} - 4$

Paso 12.2.1.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} - 4$

Paso 12.2.2

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 12.2.3

Combina $- 4$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Paso 12.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4 - 4 \cdot 3}{3}$

Paso 12.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 12.2.5.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4 - 12}{3}$

Paso 12.2.5.2

Resta $12$ de $4$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 8}{3}$

Paso 12.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{8}{3}$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{16}{3}, y = - \frac{2 x}{3} - \frac{8}{3}$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(2, - 4)$

Vértices: $(\frac{5}{2}, - 4), (\frac{3}{2}, - 4)$

Focos: $(2 + \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4), (2 - \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4)$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{13}}{3}$

Parámetro focal: $\frac{\sqrt{13}}{702}$

Asíntotas: $y = \frac{2 x}{3} - \frac{16}{3}$ , $y = - \frac{2 x}{3} - \frac{8}{3}$

Paso 15