Precálculo Ejemplos

$x^{2} - y^{2} = 4 (x - y) + 1$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 1.1.1

Resta $4 (x - y)$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - y^{2} - 4 (x - y) = 1$

Paso 1.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - y^{2} - 4 x - 4 (- y) = 1$

Paso 1.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$x^{2} - y^{2} - 4 x + 4 y = 1$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $x^{2} - 4 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Cancela el factor común de ${(- 4)}^{2}$ y $4$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.1.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.1.1.4

Multiplica $4^{2}$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.1.1.5

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.1.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.1.6.1

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Paso 1.2.4.2.1.1.6.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.1.1.6.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Paso 1.2.4.2.1.1.6.4

Divide $4$ por $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - 2)}^{2} - 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4$

Paso 1.3

Sustituye ${(x - 2)}^{2} - 4$ por $x^{2} - 4 x$ en la ecuación $x^{2} - y^{2} - 4 x + 4 y = 1$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 - y^{2} + 4 y = 1$

Paso 1.4

Mueve $- 4$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $4$ a ambos lados.

${(x - 2)}^{2} - y^{2} + 4 y = 1 + 4$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $- y^{2} + 4 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Paso 1.5.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$d = - 2$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Cancela el factor común de $4^{2}$ y $4$ .

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Paso 1.5.4.2.1.1.1

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.4.2.1.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Paso 1.5.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - - 4$

Paso 1.5.4.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Paso 1.5.4.2.2

Suma $0$ y $4$ .

$e = 4$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(y - 2)}^{2} + 4$ .

$- {(y - 2)}^{2} + 4$

Paso 1.6

Sustituye $- {(y - 2)}^{2} + 4$ por $- y^{2} + 4 y$ en la ecuación $x^{2} - y^{2} - 4 x + 4 y = 1$ .

${(x - 2)}^{2} - {(y - 2)}^{2} + 4 = 1 + 4$

Paso 1.7

Mueve $4$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $4$ a ambos lados.

${(x - 2)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = 1 + 4 - 4$

Paso 1.8

Simplifica $1 + 4 - 4$ .

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Paso 1.8.1

Suma $1$ y $4$ .

${(x - 2)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = 5 - 4$

Paso 1.8.2

Resta $4$ de $5$ .

${(x - 2)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 1$

$b = 1$

$k = 2$

$h = 2$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(2, 2)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 + 1}$

Paso 5.3.3

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{2}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(3, 2)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(1, 2)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm a, k)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(3, 2), (1, 2)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(2 + \sqrt{2}, 2)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(2 - \sqrt{2}, 2)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(2 + \sqrt{2}, 2), (2 - \sqrt{2}, 2)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}}{1}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Divide $\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Paso 8.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Paso 8.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 + 1}$

Paso 8.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{2}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 9.3.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 9.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 9.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 9.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 9.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

$y = \pm 1 \cdot (x - (2)) + 2$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = 1 \cdot (x - (2)) + 2$

Paso 11.2

Simplifica $1 \cdot (x - (2)) + 2$ .

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Multiplica $x - (2)$ por $1$ .

$y = x - (2) + 2$

Paso 11.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = x - 2 + 2$

Paso 11.2.2

Combina los términos opuestos en $x - 2 + 2$ .

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Paso 11.2.2.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$y = x + 0$

Paso 11.2.2.2

Suma $x$ y $0$ .

$y = x$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - 1 \cdot (x - (2)) + 2$

Paso 12.2

Simplifica $- 1 \cdot (x - (2)) + 2$ .

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = - 1 \cdot (x - 2) + 2$

Paso 12.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - 1 x - 1 \cdot - 2 + 2$

Paso 12.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y = - x - 1 \cdot - 2 + 2$

Paso 12.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$y = - x + 2 + 2$

Paso 12.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$y = - x + 4$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = x, y = - x + 4$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(2, 2)$

Vértices: $(3, 2), (1, 2)$

Focos: $(2 + \sqrt{2}, 2), (2 - \sqrt{2}, 2)$

Excentricidad: $\sqrt{2}$

Parámetro focal: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Asíntotas: $y = x$ , $y = - x + 4$

Paso 15