Precálculo Ejemplos

$\frac{y^{2}}{576} - \frac{x^{2}}{100} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{y^{2}}{576} - \frac{x^{2}}{100} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 24$

$b = 10$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(24)}^{2} + {(10)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $24$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{576 + {(10)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{576 + 100}$

Paso 5.3.3

Suma $576$ y $100$ .

$\sqrt{676}$

Paso 5.3.4

Reescribe $676$ como $26^{2}$ .

$\sqrt{26^{2}}$

Paso 5.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$26$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(0, 24)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(0, - 24)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm a)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(0, 24), (0, - 24)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(0, 26)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(0, - 26)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(0, 26), (0, - 26)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(24)}^{2} + {(10)}^{2}}}{24}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Eleva $24$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{576 + 10^{2}}}{24}$

Paso 8.3.1.2

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{576 + 100}}{24}$

Paso 8.3.1.3

Suma $576$ y $100$ .

$\frac{\sqrt{676}}{24}$

Paso 8.3.1.4

Reescribe $676$ como $26^{2}$ .

$\frac{\sqrt{26^{2}}}{24}$

Paso 8.3.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{26}{24}$

Paso 8.3.2

Cancela el factor común de $26$ y $24$ .

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Paso 8.3.2.1

Factoriza $2$ de $26$ .

$\frac{2 (13)}{24}$

Paso 8.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $24$ .

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 12}$

Paso 8.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 12}$

Paso 8.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{13}{12}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{10^{2}}{26}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$\frac{100}{26}$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común de $100$ y $26$ .

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Paso 9.3.2.1

Factoriza $2$ de $100$ .

$\frac{2 (50)}{26}$

Paso 9.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $26$ .

$\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 13}$

Paso 9.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 13}$

Paso 9.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{50}{13}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ porque esta hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo.

$y = \pm \frac{12}{5} x + 0$

Paso 11

Simplifica $\frac{12}{5} x + 0$ .

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Paso 11.1

Suma $\frac{12}{5} x$ y $0$ .

$y = \frac{12}{5} x$

Paso 11.2

Combina $\frac{12}{5}$ y $x$ .

$y = \frac{12 x}{5}$

Paso 12

Simplifica $- \frac{12}{5} x + 0$ .

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Paso 12.1

Suma $- \frac{12}{5} x$ y $0$ .

$y = - \frac{12}{5} x$

Paso 12.2

Combina $x$ y $\frac{12}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 12}{5}$

Paso 12.3

Mueve $12$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{12 x}{5}$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{12 x}{5}, y = - \frac{12 x}{5}$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(0, 0)$

Vértices: $(0, 24), (0, - 24)$

Focos: $(0, 26), (0, - 26)$

Excentricidad: $\frac{13}{12}$

Parámetro focal: $\frac{50}{13}$

Asíntotas: $y = \frac{12 x}{5}$ , $y = - \frac{12 x}{5}$

Paso 15