Precálculo Ejemplos

$x^{2} + 2 x + 15 y = - 3 y^{2} + 7$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 1.1.1

Suma $3 y^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 2 x + 15 y + 3 y^{2} = 7$

Paso 1.1.2

Mueve $15 y$ .

$x^{2} + 2 x + 3 y^{2} + 15 y = 7$

Paso 1.1.3

Mueve $2 x$ .

$x^{2} + 3 y^{2} + 2 x + 15 y = 7$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $x^{2} + 2 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$d = 1$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.4.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 1.2.4.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e = 0 - 1$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x + 1)}^{2} - 1$ .

${(x + 1)}^{2} - 1$

Paso 1.3

Sustituye ${(x + 1)}^{2} - 1$ por $x^{2} + 2 x$ en la ecuación $x^{2} + 3 y^{2} + 2 x + 15 y = 7$ .

${(x + 1)}^{2} - 1 + 3 y^{2} + 15 y = 7$

Paso 1.4

Mueve $- 1$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $1$ a ambos lados.

${(x + 1)}^{2} + 3 y^{2} + 15 y = 7 + 1$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $3 y^{2} + 15 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 3$

$b = 15$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{15}{2 \cdot 3}$

Paso 1.5.3.2

Cancela el factor común de $15$ y $3$ .

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Paso 1.5.3.2.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$d = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 3}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 2}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 2}$

Paso 1.5.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{5}{2}$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{15^{2}}{4 \cdot 3}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $15$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{225}{4 \cdot 3}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$e = 0 - \frac{225}{12}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Cancela el factor común de $225$ y $12$ .

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Paso 1.5.4.2.1.3.1

Factoriza $3$ de $225$ .

$e = 0 - \frac{3 (75)}{12}$

Paso 1.5.4.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.4.2.1.3.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$e = 0 - \frac{3 \cdot 75}{3 \cdot 4}$

Paso 1.5.4.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{3 \cdot 75}{3 \cdot 4}$

Paso 1.5.4.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{75}{4}$

Paso 1.5.4.2.2

Resta $\frac{75}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{75}{4}$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4}$ .

$3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4}$

Paso 1.6

Sustituye $3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4}$ por $3 y^{2} + 15 y$ en la ecuación $x^{2} + 3 y^{2} + 2 x + 15 y = 7$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4} = 7 + 1$

Paso 1.7

Mueve $- \frac{75}{4}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{75}{4}$ a ambos lados.

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 7 + 1 + \frac{75}{4}$

Paso 1.8

Simplifica $7 + 1 + \frac{75}{4}$ .

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Paso 1.8.1

Obtén el denominador común

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Paso 1.8.1.1

Escribe $7$ como una fracción con el denominador $1$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7}{1} + 1 + \frac{75}{4}$

Paso 1.8.1.2

Multiplica $\frac{7}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1 + \frac{75}{4}$

Paso 1.8.1.3

Multiplica $\frac{7}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + 1 + \frac{75}{4}$

Paso 1.8.1.4

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} + \frac{75}{4}$

Paso 1.8.1.5

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{75}{4}$

Paso 1.8.1.6

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4} + \frac{75}{4}$

Paso 1.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4 + 4 + 75}{4}$

Paso 1.8.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.8.3.1

Multiplica $7$ por $4$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{28 + 4 + 75}{4}$

Paso 1.8.3.2

Suma $28$ y $4$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{32 + 75}{4}$

Paso 1.8.3.3

Suma $32$ y $75$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{107}{4}$

Paso 1.9

Divide cada término por $\frac{107}{4}$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{107}{4}} + \frac{3 {(y + \frac{5}{2})}^{2}}{\frac{107}{4}} = \frac{\frac{107}{4}}{\frac{107}{4}}$

Paso 1.10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{107}{4}} + \frac{{(y + \frac{5}{2})}^{2}}{\frac{107}{12}} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = \frac{\sqrt{107}}{2}$

$b = \frac{\sqrt{321}}{6}$

$k = - \frac{5}{2}$

$h = - 1$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(- 1, - \frac{5}{2})$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{107}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{107}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{107}}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Reescribe ${\sqrt{107}}^{2}$ como $107$ .

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{107}$ como $107^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(107^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{107^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Paso 5.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Paso 5.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{107^{1}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Paso 5.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{107}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Paso 5.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Paso 5.3.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{321}}{6}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{\sqrt{321}}^{2}}{6^{2}}}$

Paso 5.3.4

Reescribe ${\sqrt{321}}^{2}$ como $321$ .

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Paso 5.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{321}$ como $321^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{(321^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}}$

Paso 5.3.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}}$

Paso 5.3.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Paso 5.3.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.4.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Paso 5.3.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{1}}{6^{2}}}$

Paso 5.3.4.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{6^{2}}}$

Paso 5.3.5

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{36}}$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $321$ y $36$ .

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Paso 5.3.6.1

Factoriza $3$ de $321$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 (107)}{36}}$

Paso 5.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.6.2.1

Factoriza $3$ de $36$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}}$

Paso 5.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}}$

Paso 5.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{107}{12}}$

Paso 5.3.7

Para escribir $\frac{107}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{107}{12}}$

Paso 5.3.8

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.8.1

Multiplica $\frac{107}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{107}{12}}$

Paso 5.3.8.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{12} - \frac{107}{12}}$

Paso 5.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3 - 107}{12}}$

Paso 5.3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.10.1

Multiplica $107$ por $3$ .

$\sqrt{\frac{321 - 107}{12}}$

Paso 5.3.10.2

Resta $107$ de $321$ .

$\sqrt{\frac{214}{12}}$

Paso 5.3.11

Cancela el factor común de $214$ y $12$ .

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Paso 5.3.11.1

Factoriza $2$ de $214$ .

$\sqrt{\frac{2 (107)}{12}}$

Paso 5.3.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.11.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}}$

Paso 5.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}}$

Paso 5.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{107}{6}}$

Paso 5.3.12

Reescribe $\sqrt{\frac{107}{6}}$ como $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$

Paso 5.3.13

Multiplica $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Paso 5.3.14

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.3.14.1

Multiplica $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Paso 5.3.14.2

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Paso 5.3.14.3

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Paso 5.3.14.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Paso 5.3.14.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Paso 5.3.14.6

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 5.3.14.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.3.14.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.3.14.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.14.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.14.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.14.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Paso 5.3.14.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6}$

Paso 5.3.15

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.15.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{107 \cdot 6}}{6}$

Paso 5.3.15.2

Multiplica $107$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{642}}{6}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

Paso 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(- 1 - (\frac{\sqrt{107}}{2}), - \frac{5}{2})$

Paso 6.5

Simplifica.

$(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

Paso 6.6

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

Paso 7.3

El segundo foco de una elipse puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(- 1 - (\frac{\sqrt{642}}{6}), - \frac{5}{2})$

Paso 7.5

Simplifica.

$(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

Paso 7.6

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{107}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}}{\frac{\sqrt{107}}{2}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{107}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{107}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{107}}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.3

Reescribe ${\sqrt{107}}^{2}$ como $107$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{107}$ como $107^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(107^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{107^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{107^{1}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.3.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{107}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 8.3.4.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{321}}{6}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{\sqrt{321}}^{2}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.5

Reescribe ${\sqrt{321}}^{2}$ como $321$ .

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Paso 8.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{321}$ como $321^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{(321^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.5.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{1}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.5.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.6

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{36}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.7

Cancela el factor común de $321$ y $36$ .

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Paso 8.3.7.1

Factoriza $3$ de $321$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 (107)}{36}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.7.2.1

Factoriza $3$ de $36$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.8

Para escribir $\frac{107}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.9

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.3.9.1

Multiplica $\frac{107}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.9.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{12} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3 - 107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.11

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.11.1

Multiplica $107$ por $3$ .

$\sqrt{\frac{321 - 107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.11.2

Resta $107$ de $321$ .

$\sqrt{\frac{214}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.12

Cancela el factor común de $214$ y $12$ .

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Paso 8.3.12.1

Factoriza $2$ de $214$ .

$\sqrt{\frac{2 (107)}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.12.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.12.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.12.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{107}{6}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.13

Reescribe $\sqrt{\frac{107}{6}}$ como $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.14

Cancela el factor común de $\sqrt{107}$ .

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Paso 8.3.14.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{2}{\sqrt{107}}$

Paso 8.3.14.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot 2$

Paso 8.3.15

Combina $\frac{1}{\sqrt{6}}$ y $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{6}}$

Paso 8.3.16

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.3.17

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.3.17.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Paso 8.3.17.2

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Paso 8.3.17.3

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Paso 8.3.17.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Paso 8.3.17.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Paso 8.3.17.6

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 8.3.17.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.3.17.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.3.17.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.17.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.17.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.17.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{1}}$

Paso 8.3.17.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2 \sqrt{6}}{6}$

Paso 8.3.18

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 8.3.18.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{2 (\sqrt{6})}{6}$

Paso 8.3.18.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.18.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Paso 8.3.18.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Paso 8.3.18.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(- 1, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Paso 10