Precálculo Ejemplos

$x^{2} + 8 y = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$8 y = - x^{2}$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $8 y = - x^{2}$ por $8$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $8 y = - x^{2}$ por $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{- x^{2}}{8}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 y}{8} = \frac{- x^{2}}{8}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{8}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x^{2}}{8}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- \frac{x^{2}}{8}$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{8}$

$b = 0$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{8})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{8})}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{8})}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{8}}$

Paso 1.2.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = 0 (- 1 \cdot 8)$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $0 (- 1 \cdot 8)$ .

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Paso 1.2.3.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$d = 0 \cdot - 8$

Paso 1.2.3.2.3.2

Multiplica $0$ por $- 8$ .

$d = 0$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 (- \frac{1}{8})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{8})}$

Paso 1.2.4.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{8}$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{- 4}{8}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.3.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $8$ .

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Paso 1.2.4.2.1.3.1.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 (- 1)}{8}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{0}{\frac{- 1}{2}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = 0 - \frac{0}{- \frac{1}{2}}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = 0 - (0 (- 1 \cdot 2))$

Paso 1.2.4.2.1.5

Multiplica $- (0 (- 1 \cdot 2))$ .

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Paso 1.2.4.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e = 0 - (0 \cdot - 2)$

Paso 1.2.4.2.1.5.2

Multiplica $0$ por $- 2$ .

$e = 0 - 0$

Paso 1.2.4.2.1.5.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e = 0 + 0$

Paso 1.2.4.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$e = 0$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{8} x^{2}$ .

$- \frac{1}{8} x^{2}$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - \frac{1}{8} x^{2}$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{8}$

$h = 0$

$k = 0$

Paso 3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{8})}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 5.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{8})}$

Paso 5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{8})}$

Paso 5.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{8}}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Paso 5.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 5.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 5.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 5.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (1 \cdot 2)$

Paso 5.3.5

Multiplica $- (1 \cdot 2)$ .

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Paso 5.3.5.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Paso 5.3.5.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(0, - 2)$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 0$

Paso 8

Obtén la directriz.

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Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = 2$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(0, - 2)$

Eje de simetría: $x = 0$

Directriz: $y = 2$

Paso 10