Precálculo Ejemplos

$y^{2} = \frac{25}{6} x$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Reescribe la ecuación como $\frac{25}{6} x = y^{2}$ .

$\frac{25}{6} x = y^{2}$

Paso 1.1.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{6}{25}$ .

$\frac{6}{25} (\frac{25}{6} x) = \frac{6}{25} y^{2}$

Paso 1.1.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.3.1.1

Simplifica $\frac{6}{25} (\frac{25}{6} x)$ .

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Paso 1.1.3.1.1.1

Combina $\frac{25}{6}$ y $x$ .

$\frac{6}{25} \cdot \frac{25 x}{6} = \frac{6}{25} y^{2}$

Paso 1.1.3.1.1.2

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 1.1.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{6}{25} \cdot \frac{25 x}{6} = \frac{6}{25} y^{2}$

Paso 1.1.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{25} (25 x) = \frac{6}{25} y^{2}$

Paso 1.1.3.1.1.3

Cancela el factor común de $25$ .

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Paso 1.1.3.1.1.3.1

Factoriza $25$ de $25 x$ .

$\frac{1}{25} (25 (x)) = \frac{6}{25} y^{2}$

Paso 1.1.3.1.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{25} (25 x) = \frac{6}{25} y^{2}$

Paso 1.1.3.1.1.3.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{6}{25} y^{2}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.2.1

Combina $\frac{6}{25}$ y $y^{2}$ .

$x = \frac{6 y^{2}}{25}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{6 y^{2}}{25}$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{6}{25}$

$b = 0$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (\frac{6}{25})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{6}{25})}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{6}{25})}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{0}{\frac{6}{25}}$

Paso 1.2.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = 0 (\frac{25}{6})$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $0$ por $\frac{25}{6}$ .

$d = 0$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{6}{25})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{6}{25})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{6}{25}$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 \cdot 6}{25}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Multiplica $4$ por $6$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{24}{25}}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = 0 - (0 (\frac{25}{24}))$

Paso 1.2.4.2.1.5

Multiplica $0$ por $\frac{25}{24}$ .

$e = 0 - 0$

Paso 1.2.4.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e = 0 + 0$

Paso 1.2.4.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$e = 0$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{6}{25} y^{2}$ .

$\frac{6}{25} y^{2}$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = \frac{6}{25} y^{2}$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{6}{25}$

$h = 0$

$k = 0$

Paso 3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{6}{25}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Combina $4$ y $\frac{6}{25}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 6}{25}}$

Paso 5.3.2

Multiplica $4$ por $6$ .

$\frac{1}{\frac{24}{25}}$

Paso 5.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 (\frac{25}{24})$

Paso 5.3.4

Multiplica $\frac{25}{24}$ por $1$ .

$\frac{25}{24}$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{25}{24}, 0)$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = 0$

Paso 8

Obtén la directriz.

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Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = - \frac{25}{24}$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(\frac{25}{24}, 0)$

Eje de simetría: $y = 0$

Directriz: $x = - \frac{25}{24}$

Paso 10