Precálculo Ejemplos

$\log_{6} (\frac{1}{\sqrt[5]{36}})$

Paso 1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[5]{36}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{36}}^{4}}{{\sqrt[5]{36}}^{4}}$ .

$\log_{6} (\frac{1}{\sqrt[5]{36}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{36}}^{4}}{{\sqrt[5]{36}}^{4}})$

Paso 2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[5]{36}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{36}}^{4}}{{\sqrt[5]{36}}^{4}}$ .

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[5]{36}}^{4}}{\sqrt[5]{36} {\sqrt[5]{36}}^{4}})$

Paso 2.2

Eleva $\sqrt[5]{36}$ a la potencia de $1$ .

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[5]{36}}^{4}}{{\sqrt[5]{36}}^{1} {\sqrt[5]{36}}^{4}})$

Paso 2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[5]{36}}^{4}}{{\sqrt[5]{36}}^{1 + 4}})$

Paso 2.4

Suma $1$ y $4$ .

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[5]{36}}^{4}}{{\sqrt[5]{36}}^{5}})$

Paso 2.5

Reescribe ${\sqrt[5]{36}}^{5}$ como $36$ .

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Paso 2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{36}$ como $36^{\frac{1}{5}}$ .

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[5]{36}}^{4}}{{(36^{\frac{1}{5}})}^{5}})$

Paso 2.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[5]{36}}^{4}}{36^{\frac{1}{5} \cdot 5}})$

Paso 2.5.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $5$ .

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[5]{36}}^{4}}{36^{\frac{5}{5}}})$

Paso 2.5.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.5.4.1

Cancela el factor común.

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[5]{36}}^{4}}{36^{\frac{5}{5}}})$

Paso 2.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[5]{36}}^{4}}{36^{1}})$

Paso 2.5.5

Evalúa el exponente.

$\log_{6} (\frac{{\sqrt[5]{36}}^{4}}{36})$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Reescribe ${\sqrt[5]{36}}^{4}$ como $\sqrt[5]{36^{4}}$ .

$\log_{6} (\frac{\sqrt[5]{36^{4}}}{36})$

Paso 3.2

Eleva $36$ a la potencia de $4$ .

$\log_{6} (\frac{\sqrt[5]{1679616}}{36})$

Paso 3.3

Reescribe $1679616$ como $6^{5} \cdot 216$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $7776$ de $1679616$ .

$\log_{6} (\frac{\sqrt[5]{7776 (216)}}{36})$

Paso 3.3.2

Reescribe $7776$ como $6^{5}$ .

$\log_{6} (\frac{\sqrt[5]{6^{5} \cdot 216}}{36})$

Paso 3.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\log_{6} (\frac{6 \sqrt[5]{216}}{36})$

Paso 4

Reduce la expresión $\frac{6 \sqrt[5]{216}}{36}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.1

Factoriza $6$ de $6 \sqrt[5]{216}$ .

$\log_{6} (\frac{6 (\sqrt[5]{216})}{36})$

Paso 4.2

Factoriza $6$ de $36$ .

$\log_{6} (\frac{6 \sqrt[5]{216}}{6 \cdot 6})$

Paso 4.3

Cancela el factor común.

$\log_{6} (\frac{6 \sqrt[5]{216}}{6 \cdot 6})$

Paso 4.4

Reescribe la expresión.

$\log_{6} (\frac{\sqrt[5]{216}}{6})$

Paso 5

Reescribe $\frac{\sqrt[5]{216}}{6}$ como $\sqrt[5]{216} \cdot 6^{- 1}$ .

$\log_{6} (\sqrt[5]{216} \cdot 6^{- 1})$

Paso 6

Reescribe $\log_{6} (\sqrt[5]{216} \cdot 6^{- 1})$ como $\log_{6} (\sqrt[5]{216}) + \log_{6} (6^{- 1})$ .

$\log_{6} (\sqrt[5]{216}) + \log_{6} (6^{- 1})$

Paso 7

Usa las reglas de logaritmos para mover $- 1$ fuera del exponente.

$\log_{6} (\sqrt[5]{216}) - \log_{6} (6)$

Paso 8

El logaritmo en base $6$ de $6$ es $1$ .

$\log_{6} (\sqrt[5]{216}) - 1 \cdot 1$

Paso 9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\log_{6} (\sqrt[5]{216}) - 1$

Paso 10

Reescribe $\log_{6} (\sqrt[5]{216})$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 10.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - 1$

Paso 10.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\log (\sqrt[5]{216})}{\log (6)} - 1$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\log (\sqrt[5]{216})}{\log (6)} - 1$

Forma decimal:

$- 0.4$