Precálculo Ejemplos

$\log_{3} (\sqrt[3]{\frac{1}{9}})$

Paso 1

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{1}{9}}$ como $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{9}}$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{9}})$

Paso 2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\log_{3} (\frac{1}{\sqrt[3]{9}})$

Paso 3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$\log_{3} (\frac{1}{\sqrt[3]{9}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}})$

Paso 4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{9}}^{2}})$

Paso 4.2

Eleva $\sqrt[3]{9}$ a la potencia de $1$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1} {\sqrt[3]{9}}^{2}})$

Paso 4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1 + 2}})$

Paso 4.4

Suma $1$ y $2$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{3}})$

Paso 4.5

Reescribe ${\sqrt[3]{9}}^{3}$ como $9$ .

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Paso 4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{9}$ como $9^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{(9^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Paso 4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Paso 4.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}})$

Paso 4.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.5.4.1

Cancela el factor común.

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}})$

Paso 4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{1}})$

Paso 4.5.5

Evalúa el exponente.

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9})$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Reescribe ${\sqrt[3]{9}}^{2}$ como $\sqrt[3]{9^{2}}$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{9^{2}}}{9})$

Paso 5.2

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{81}}{9})$

Paso 5.3

Reescribe $81$ como $3^{3} \cdot 3$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $27$ de $81$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{27 (3)}}{9})$

Paso 5.3.2

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 3}}{9})$

Paso 5.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\log_{3} (\frac{3 \sqrt[3]{3}}{9})$

Paso 6

Reduce la expresión $\frac{3 \sqrt[3]{3}}{9}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt[3]{3}$ .

$\log_{3} (\frac{3 (\sqrt[3]{3})}{9})$

Paso 6.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$\log_{3} (\frac{3 \sqrt[3]{3}}{3 \cdot 3})$

Paso 6.3

Cancela el factor común.

$\log_{3} (\frac{3 \sqrt[3]{3}}{3 \cdot 3})$

Paso 6.4

Reescribe la expresión.

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{3}}{3})$

Paso 7

Reescribe $\frac{\sqrt[3]{3}}{3}$ como $\sqrt[3]{3} \cdot 3^{- 1}$ .

$\log_{3} (\sqrt[3]{3} \cdot 3^{- 1})$

Paso 8

Reescribe $\log_{3} (\sqrt[3]{3} \cdot 3^{- 1})$ como $\log_{3} (\sqrt[3]{3}) + \log_{3} (3^{- 1})$ .

$\log_{3} (\sqrt[3]{3}) + \log_{3} (3^{- 1})$

Paso 9

Usa las reglas de logaritmos para mover $- 1$ fuera del exponente.

$\log_{3} (\sqrt[3]{3}) - \log_{3} (3)$

Paso 10

El logaritmo en base $3$ de $3$ es $1$ .

$\log_{3} (\sqrt[3]{3}) - 1 \cdot 1$

Paso 11

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\log_{3} (\sqrt[3]{3}) - 1$

Paso 12

Reescribe $\log_{3} (\sqrt[3]{3})$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 12.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - 1$

Paso 12.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\log (\sqrt[3]{3})}{\log (3)} - 1$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\log (\sqrt[3]{3})}{\log (3)} - 1$

Forma decimal:

$- 0.\overline{6}$