Precálculo Ejemplos

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{32}})$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{16 (2)}})$

Paso 1.1.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{4^{2} \cdot 2}})$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\log_{4} (\frac{1}{4 \sqrt{2}})$

Paso 2

Multiplica $\frac{1}{4 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\log_{4} (\frac{1}{4 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{4 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 \sqrt{2} \sqrt{2}})$

Paso 3.2

Mueve $\sqrt{2}$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 (\sqrt{2} \sqrt{2})})$

Paso 3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})$

Paso 3.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})$

Paso 3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Paso 3.6

Suma $1$ y $1$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 {\sqrt{2}}^{2}})$

Paso 3.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 3.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 3.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

Paso 3.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.7.4.1

Cancela el factor común.

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

Paso 3.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 2^{1}})$

Paso 3.7.5

Evalúa el exponente.

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 2})$

Paso 4

Multiplica $4$ por $2$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{8})$

Paso 5

Reescribe $\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{8})$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 5.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Paso 5.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{\sqrt{2}}{8})}{\log (4)}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\log (\frac{\sqrt{2}}{8})}{\log (4)}$

Forma decimal:

$- 1.25$