Precálculo Ejemplos

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + 5 \log (y) - 6 \log (\sqrt{x y})$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica $5 \log (y)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - 6 \log (\sqrt{x y})$

Paso 1.2

Simplifica $- 6 \log (\sqrt{x y})$ al mover $6$ dentro del algoritmo.

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({\sqrt{x y}}^{6})$

Paso 1.3

Reescribe ${\sqrt{x y}}^{6}$ como ${(x y)}^{3}$ .

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Paso 1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x y}$ como ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{6})$

Paso 1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({(x y)}^{\frac{1}{2} \cdot 6})$

Paso 1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $6$ .

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({(x y)}^{\frac{6}{2}})$

Paso 1.3.4

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 1.3.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({(x y)}^{\frac{2 \cdot 3}{2}})$

Paso 1.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({(x y)}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}})$

Paso 1.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({(x y)}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}})$

Paso 1.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({(x y)}^{\frac{3}{1}})$

Paso 1.3.4.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({(x y)}^{3})$

Paso 1.4

Aplica la regla del producto a $x y$ .

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log (x^{3} y^{3})$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}} y^{5}) - \log (x^{3} y^{3})$

Paso 3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{x^{2}}{y^{3}} y^{5}}{x^{3} y^{3}})$

Paso 4

Cancela el factor común de $y^{5}$ y $y^{3}$ .

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Paso 4.1

Factoriza $y^{3}$ de $\frac{x^{2}}{y^{3}} y^{5}$ .

$\log (\frac{y^{3} (\frac{x^{2}}{y^{3}} y^{2})}{x^{3} y^{3}})$

Paso 4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Factoriza $y^{3}$ de $x^{3} y^{3}$ .

$\log (\frac{y^{3} (\frac{x^{2}}{y^{3}} y^{2})}{y^{3} x^{3}})$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

$\log (\frac{y^{3} (\frac{x^{2}}{y^{3}} y^{2})}{y^{3} x^{3}})$

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$\log (\frac{\frac{x^{2}}{y^{3}} y^{2}}{x^{3}})$

Paso 5

Combina $\frac{x^{2}}{y^{3}}$ y $y^{2}$ .

$\log (\frac{\frac{x^{2} y^{2}}{y^{3}}}{x^{3}})$

Paso 6

Reduce la expresión $\frac{x^{2} y^{2}}{y^{3}}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.1

Factoriza $y^{2}$ de $x^{2} y^{2}$ .

$\log (\frac{\frac{y^{2} x^{2}}{y^{3}}}{x^{3}})$

Paso 6.2

Factoriza $y^{2}$ de $y^{3}$ .

$\log (\frac{\frac{y^{2} x^{2}}{y^{2} y}}{x^{3}})$

Paso 6.3

Cancela el factor común.

$\log (\frac{\frac{y^{2} x^{2}}{y^{2} y}}{x^{3}})$

Paso 6.4

Reescribe la expresión.

$\log (\frac{\frac{x^{2}}{y}}{x^{3}})$

Paso 7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\log (\frac{x^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x^{3}})$

Paso 8

Combinar.

$\log (\frac{x^{2} \cdot 1}{y x^{3}})$

Paso 9

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{3}$ .

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Paso 9.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} \cdot 1$ .

$\log (\frac{x^{2} (1)}{y x^{3}})$

Paso 9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $y x^{3}$ .

$\log (\frac{x^{2} (1)}{x^{2} (y x)})$

Paso 9.2.2

Cancela el factor común.

$\log (\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} (y x)})$

Paso 9.2.3

Reescribe la expresión.

$\log (\frac{1}{y x})$