Precálculo Ejemplos

$\cos (120 + 45)$

Paso 1

Para convertir grados a radianes, multiplica por $\frac{π}{180 °}$ , ya que un círculo completo es $360 °$ o $2 π$ radianes.

Paso 2

Suma $120$ y $45$ .

$\cos (165) \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Paso 3

El valor exacto de $\cos (165)$ es $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 3.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- \cos (15) \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Paso 3.2

Divide $15$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$- \cos (45 - 30) \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Paso 3.3

Separa la negación.

$- \cos (45 - (30)) \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Paso 3.4

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$- (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Paso 3.5

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Paso 3.6

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Paso 3.7

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (30)) \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Paso 3.8

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Paso 3.9

Simplifica $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ .

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Paso 3.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.9.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 3.9.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Paso 3.9.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Paso 3.9.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Paso 3.9.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Paso 3.9.1.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.9.1.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Paso 3.9.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Paso 3.9.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{π}{180}$ radianes

Paso 4

Multiplica $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{π}{180}$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{π}{180}$ por $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$- \frac{π (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{180 \cdot 4}$ radianes

Paso 4.2

Multiplica $180$ por $4$ .

$- \frac{π (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{720}$ radianes