Precálculo Ejemplos

$\sum_{k = 5}^{15} (- 10) {(- 1)}^{k - 1}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{k}$ y $a_{k + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{- 10 {(- 1)}^{k + 1 - 1}}{- 10 {(- 1)}^{k - 1}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $- 10$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$r = \frac{- 10 {(- 1)}^{k + 1 - 1}}{- 10 {(- 1)}^{k - 1}}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 1 - 1}}{{(- 1)}^{k - 1}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de ${(- 1)}^{k + 1 - 1}$ y ${(- 1)}^{k - 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza ${(- 1)}^{k - 1}$ de ${(- 1)}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Paso 2.2.2.2.4

Divide ${(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}$ por $1$ .

$r = {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}$

Paso 2.2.3

Suma $k$ y $0$ .

$r = {(- 1)}^{k - (k - 1)}$

Paso 2.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r = {(- 1)}^{k - k - - 1}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(- 1)}^{k - k + 1}$

Paso 2.2.5

Resta $k$ de $k$ .

$r = {(- 1)}^{0 + 1}$

Paso 2.2.6

Suma $0$ y $1$ .

$r = {(- 1)}^{1}$

Paso 2.2.7

Evalúa el exponente.

$r = - 1$

Paso 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 3.1

Sustituye $5$ por $k$ en $(- 10) {(- 1)}^{k - 1}$ .

$a = - 10 {(- 1)}^{5 - 1}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de $5$ .

$a = - 10 {(- 1)}^{4}$

Paso 3.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$a = - 10 \cdot 1$

Paso 3.2.3

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$a = - 10$

Paso 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$- 10 \frac{1 - {(- 1)}^{11}}{1 - - 1}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{11}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{11}$ .

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Paso 5.1.1.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$- 10 \frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{11}}{1 - - 1}$

Paso 5.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 10 \frac{1 + {(- 1)}^{1 + 11}}{1 - - 1}$

Paso 5.1.1.2

Suma $1$ y $11$ .

$- 10 \frac{1 + {(- 1)}^{12}}{1 - - 1}$

Paso 5.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $12$ .

$- 10 \frac{1 + 1}{1 - - 1}$

Paso 5.1.3

Suma $1$ y $1$ .

$- 10 \frac{2}{1 - - 1}$

Paso 5.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 10 \frac{2}{1 + 1}$

Paso 5.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$- 10 (\frac{2}{2})$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$- 10 (\frac{2}{2})$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$- 10 \cdot 1$

Paso 5.4

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$- 10$