Precálculo Ejemplos

$\sum_{k = 1}^{8} - 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{k}$ y $a_{k + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$r = \frac{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de ${(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}$ y ${(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza ${(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ de ${(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Paso 2.2.2.2.4

Divide ${(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}$ por $1$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Paso 2.2.3

Suma $k$ y $0$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - (k - 1)}$

Paso 2.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - k - - 1}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - k + 1}$

Paso 2.2.5

Resta $k$ de $k$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{0 + 1}$

Paso 2.2.6

Suma $0$ y $1$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{1}$

Paso 2.2.7

Simplifica.

$r = - \frac{3}{5}$

Paso 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 3.1

Sustituye $1$ por $k$ en $- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ .

$a = - 3 {(- \frac{3}{5})}^{1 - 1}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$a = - 3 {(- \frac{3}{5})}^{0}$

Paso 3.2.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{5}$ .

$a = - 3 ({(- 1)}^{0} {(\frac{3}{5})}^{0})$

Paso 3.2.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{5}$ .

$a = - 3 ({(- 1)}^{0} \frac{3^{0}}{5^{0}})$

Paso 3.2.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = - 3 (1 \frac{3^{0}}{5^{0}})$

Paso 3.2.4

Multiplica $\frac{3^{0}}{5^{0}}$ por $1$ .

$a = - 3 \frac{3^{0}}{5^{0}}$

Paso 3.2.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = - 3 \frac{1}{5^{0}}$

Paso 3.2.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = - 3 (\frac{1}{1})$

Paso 3.2.7

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 3.2.7.1

Cancela el factor común.

$a = - 3 (\frac{1}{1})$

Paso 3.2.7.2

Reescribe la expresión.

$a = - 3 \cdot 1$

Paso 3.2.8

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$a = - 3$

Paso 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$- 3 \frac{1 - {(- \frac{3}{5})}^{8}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{5}$ .

$- 3 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} {(\frac{3}{5})}^{8})}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{5}$ .

$- 3 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} \frac{3^{8}}{5^{8}})}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{8}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.2.1

Mueve ${(- 1)}^{8}$ .

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot - 1 \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica ${(- 1)}^{8}$ por $- 1$ .

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Paso 5.1.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8 + 1} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5.1.2.3

Suma $8$ y $1$ .

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $9$ .

$- 3 \frac{1 - \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $8$ .

$- 3 \frac{1 - \frac{6561}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5.1.5

Eleva $5$ a la potencia de $8$ .

$- 3 \frac{1 - \frac{6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5.1.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- 3 \frac{\frac{390625}{390625} - \frac{6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 3 \frac{\frac{390625 - 6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5.1.8

Resta $6561$ de $390625$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1

Multiplica $- - \frac{3}{5}$ .

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 + 1 (\frac{3}{5})}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $\frac{3}{5}$ por $1$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 + \frac{3}{5}}$

Paso 5.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{5}{5} + \frac{3}{5}}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{5 + 3}{5}}$

Paso 5.2.4

Suma $5$ y $3$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{8}{5}}$

Paso 5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- 3 (\frac{384064}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $8$ de $384064$ .

$- 3 (\frac{8 (48008)}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

Paso 5.4.2

Cancela el factor común.

$- 3 (\frac{8 \cdot 48008}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión.

$- 3 (\frac{48008}{390625} \cdot 5)$

Paso 5.5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $5$ de $390625$ .

$- 3 (\frac{48008}{5 (78125)} \cdot 5)$

Paso 5.5.2

Cancela el factor común.

$- 3 (\frac{48008}{5 \cdot 78125} \cdot 5)$

Paso 5.5.3

Reescribe la expresión.

$- 3 (\frac{48008}{78125})$

Paso 5.6

Multiplica $- 3 (\frac{48008}{78125})$ .

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Paso 5.6.1

Combina $- 3$ y $\frac{48008}{78125}$ .

$\frac{- 3 \cdot 48008}{78125}$

Paso 5.6.2

Multiplica $- 3$ por $48008$ .

$\frac{- 144024}{78125}$

Paso 5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{144024}{78125}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{144024}{78125}$

Forma decimal:

$- 1.8435072$

Forma de número mixto:

$- 1 \frac{65899}{78125}$