Precálculo Ejemplos

$\sum_{k = 15}^{46} \frac{3 - 5 k}{4}$

Paso 1

Divide la suma para hacer que el valor inicial de $k$ sea igual a $1$ .

$\sum_{k = 15}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} = \sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} - \sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4}$

Paso 2

Evalúa $\sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4}$ .

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Paso 2.1

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} = \sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} + \sum_{k = 1}^{46} - \frac{5 k}{4}$

Paso 2.2

Evalúa $\sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4}$ .

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Paso 2.2.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 2.2.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(\frac{3}{4}) (46)$

Paso 2.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{3}{2 (2)} \cdot 46$

Paso 2.2.3.1.2

Factoriza $2$ de $46$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 23)$

Paso 2.2.3.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 23)$

Paso 2.2.3.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{2} \cdot 23$

Paso 2.2.3.2

Combina $\frac{3}{2}$ y $23$ .

$\frac{3 \cdot 23}{2}$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $3$ por $23$ .

$\frac{69}{2}$

Paso 2.3

Evalúa $\sum_{k = 1}^{46} - \frac{5 k}{4}$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza $- \frac{5}{4}$ fuera de la suma.

$(- \frac{5}{4}) \sum_{k = 1}^{46} k$

Paso 2.3.2

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 2.3.3

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(- \frac{5}{4}) (\frac{46 (46 + 1)}{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica.

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Paso 2.3.4.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.4.1.1

Suma $46$ y $1$ .

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{46 \cdot 47}{2}$

Paso 2.3.4.1.2

Multiplica $46$ por $47$ .

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{2162}{2}$

Paso 2.3.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.4.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{4}$ al numerador.

$\frac{- 5}{4} \cdot \frac{2162}{2}$

Paso 2.3.4.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{- 5}{2 (2)} \cdot \frac{2162}{2}$

Paso 2.3.4.2.3

Factoriza $2$ de $2162$ .

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 1081}{2}$

Paso 2.3.4.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 1081}{2}$

Paso 2.3.4.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5}{2} \cdot \frac{1081}{2}$

Paso 2.3.4.3

Multiplica $\frac{- 5}{2}$ por $\frac{1081}{2}$ .

$\frac{- 5 \cdot 1081}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.4.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.4.4.1

Multiplica $- 5$ por $1081$ .

$\frac{- 5405}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.4.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{- 5405}{4}$

Paso 2.3.4.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5405}{4}$

Paso 2.4

Suma los resultados de las sumas.

$\frac{69}{2} - \frac{5405}{4}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Para escribir $\frac{69}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{69}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5405}{4}$

Paso 2.5.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.5.2.1

Multiplica $\frac{69}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{69 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{5405}{4}$

Paso 2.5.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{69 \cdot 2}{4} - \frac{5405}{4}$

Paso 2.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{69 \cdot 2 - 5405}{4}$

Paso 2.5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.4.1

Multiplica $69$ por $2$ .

$\frac{138 - 5405}{4}$

Paso 2.5.4.2

Resta $5405$ de $138$ .

$\frac{- 5267}{4}$

Paso 2.5.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5267}{4}$

Paso 3

Evalúa $\sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4}$ .

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Paso 3.1

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} = \sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} + \sum_{k = 1}^{14} - \frac{5 k}{4}$

Paso 3.2

Evalúa $\sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4}$ .

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Paso 3.2.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 3.2.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(\frac{3}{4}) (14)$

Paso 3.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{3}{2 (2)} \cdot 14$

Paso 3.2.3.1.2

Factoriza $2$ de $14$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 7)$

Paso 3.2.3.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 7)$

Paso 3.2.3.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{2} \cdot 7$

Paso 3.2.3.2

Combina $\frac{3}{2}$ y $7$ .

$\frac{3 \cdot 7}{2}$

Paso 3.2.3.3

Multiplica $3$ por $7$ .

$\frac{21}{2}$

Paso 3.3

Evalúa $\sum_{k = 1}^{14} - \frac{5 k}{4}$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $- \frac{5}{4}$ fuera de la suma.

$(- \frac{5}{4}) \sum_{k = 1}^{14} k$

Paso 3.3.2

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 3.3.3

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(- \frac{5}{4}) (\frac{14 (14 + 1)}{2})$

Paso 3.3.4

Simplifica.

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Paso 3.3.4.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.4.1.1

Suma $14$ y $1$ .

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{14 \cdot 15}{2}$

Paso 3.3.4.1.2

Multiplica $14$ por $15$ .

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{210}{2}$

Paso 3.3.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.4.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{4}$ al numerador.

$\frac{- 5}{4} \cdot \frac{210}{2}$

Paso 3.3.4.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{- 5}{2 (2)} \cdot \frac{210}{2}$

Paso 3.3.4.2.3

Factoriza $2$ de $210$ .

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 105}{2}$

Paso 3.3.4.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 105}{2}$

Paso 3.3.4.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5}{2} \cdot \frac{105}{2}$

Paso 3.3.4.3

Multiplica $\frac{- 5}{2}$ por $\frac{105}{2}$ .

$\frac{- 5 \cdot 105}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.4.4.1

Multiplica $- 5$ por $105$ .

$\frac{- 525}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.4.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{- 525}{4}$

Paso 3.3.4.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{525}{4}$

Paso 3.4

Suma los resultados de las sumas.

$\frac{21}{2} - \frac{525}{4}$

Paso 3.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Para escribir $\frac{21}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{21}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{525}{4}$

Paso 3.5.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1

Multiplica $\frac{21}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{21 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{525}{4}$

Paso 3.5.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{21 \cdot 2}{4} - \frac{525}{4}$

Paso 3.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{21 \cdot 2 - 525}{4}$

Paso 3.5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.4.1

Multiplica $21$ por $2$ .

$\frac{42 - 525}{4}$

Paso 3.5.4.2

Resta $525$ de $42$ .

$\frac{- 483}{4}$

Paso 3.5.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{483}{4}$

Paso 4

Reemplaza las sumas con los valores obtenidos.

$- \frac{5267}{4} + \frac{483}{4}$

Paso 5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 5267 + 483}{4}$

Paso 5.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.1

Suma $- 5267$ y $483$ .

$\frac{- 4784}{4}$

Paso 5.2.2

Divide $- 4784$ por $4$ .

$- 1196$