Precálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{31} 300 + {(n - 1)}^{2}$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Reescribe ${(n - 1)}^{2}$ como $(n - 1) (n - 1)$ .

$300 + (n - 1) (n - 1)$

Paso 1.1.2

Expande $(n - 1) (n - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$300 + n (n - 1) - 1 (n - 1)$

Paso 1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$300 + n \cdot n + n \cdot - 1 - 1 (n - 1)$

Paso 1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$300 + n \cdot n + n \cdot - 1 - 1 n - 1 \cdot - 1$

Paso 1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.1.1

Multiplica $n$ por $n$ .

$300 + n^{2} + n \cdot - 1 - 1 n - 1 \cdot - 1$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $n$ .

$300 + n^{2} - 1 \cdot n - 1 n - 1 \cdot - 1$

Paso 1.1.3.1.3

Reescribe $- 1 n$ como $- n$ .

$300 + n^{2} - n - 1 n - 1 \cdot - 1$

Paso 1.1.3.1.4

Reescribe $- 1 n$ como $- n$ .

$300 + n^{2} - n - n - 1 \cdot - 1$

Paso 1.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$300 + n^{2} - n - n + 1$

Paso 1.1.3.2

Resta $n$ de $- n$ .

$300 + n^{2} - 2 n + 1$

Paso 1.2

Suma $300$ y $1$ .

$n^{2} - 2 n + 301$

Paso 1.3

Reescribe la suma.

$\sum_{n = 1}^{31} n^{2} - 2 n + 301$

Paso 2

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{n = 1}^{31} n^{2} - 2 n + 301 = \sum_{n = 1}^{31} n^{2} - 2 \sum_{n = 1}^{31} n + \sum_{n = 1}^{31} 301$

Paso 3

Evalúa $\sum_{n = 1}^{31} n^{2}$ .

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Paso 3.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 3.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$\frac{31 (31 + 1) (2 \cdot 31 + 1)}{6}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1.1

Suma $31$ y $1$ .

$\frac{31 \cdot 32 (2 \cdot 31 + 1)}{6}$

Paso 3.3.1.2

Combina exponentes.

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Paso 3.3.1.2.1

Multiplica $31$ por $32$ .

$\frac{992 (2 \cdot 31 + 1)}{6}$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $31$ .

$\frac{992 (62 + 1)}{6}$

Paso 3.3.1.3

Suma $62$ y $1$ .

$\frac{992 \cdot 63}{6}$

Paso 3.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $992$ por $63$ .

$\frac{62496}{6}$

Paso 3.3.2.2

Divide $62496$ por $6$ .

$10416$

Paso 4

Evalúa $2 \sum_{n = 1}^{31} n$ .

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Paso 4.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 4.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(- 2) (\frac{31 (31 + 1)}{2})$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1.1

Suma $31$ y $1$ .

$- 2 \frac{31 \cdot 32}{2}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $31$ por $32$ .

$- 2 (\frac{992}{2})$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{992}{2}$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{992}{2}$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 992$

Paso 4.3.3

Multiplica $- 1$ por $992$ .

$- 992$

Paso 5

Evalúa $\sum_{n = 1}^{31} 301$ .

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Paso 5.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 5.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(301) (31)$

Paso 5.3

Multiplica $301$ por $31$ .

$9331$

Paso 6

Suma los resultados de las sumas.

$10416 - 992 + 9331$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Resta $992$ de $10416$ .

$9424 + 9331$

Paso 7.2

Suma $9424$ y $9331$ .

$18755$