Precálculo Ejemplos

$\sum_{n = 0}^{50} 5 {(\frac{3}{5})}^{n}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{n}$ y $a_{n + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{5 {(\frac{3}{5})}^{n + 1}}{5 {(\frac{3}{5})}^{n}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$r = \frac{5 {(\frac{3}{5})}^{n + 1}}{5 {(\frac{3}{5})}^{n}}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n + 1}}{{(\frac{3}{5})}^{n}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de ${(\frac{3}{5})}^{n + 1}$ y ${(\frac{3}{5})}^{n}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza ${(\frac{3}{5})}^{n}$ de ${(\frac{3}{5})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n} \frac{3}{5}}{{(\frac{3}{5})}^{n}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n} \frac{3}{5}}{{(\frac{3}{5})}^{n} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n} \frac{3}{5}}{{(\frac{3}{5})}^{n} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{\frac{3}{5}}{1}$

Paso 2.2.2.2.4

Divide $\frac{3}{5}$ por $1$ .

$r = \frac{3}{5}$

Paso 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 3.1

Sustituye $0$ por $n$ en $5 {(\frac{3}{5})}^{n}$ .

$a = 5 {(\frac{3}{5})}^{0}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{5}$ .

$a = 5 \frac{3^{0}}{5^{0}}$

Paso 3.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 5 \frac{1}{5^{0}}$

Paso 3.2.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 5 (\frac{1}{1})$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 3.2.4.1

Cancela el factor común.

$a = 5 (\frac{1}{1})$

Paso 3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$a = 5 \cdot 1$

Paso 3.2.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$a = 5$

Paso 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$5 \frac{1 - {(\frac{3}{5})}^{51}}{1 - \frac{3}{5}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $5$ .

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Paso 5.1.1

Multiplica $\frac{1 - {(\frac{3}{5})}^{51}}{1 - \frac{3}{5}}$ por $\frac{5}{5}$ .

$5 (\frac{5}{5} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{5})}^{51}}{1 - \frac{3}{5}})$

Paso 5.1.2

Combinar.

$5 \frac{5 (1 - {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 (1 - \frac{3}{5})}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 + 5 (- \frac{3}{5})}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{5}$ al numerador.

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 3}{5})}$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común.

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 3}{5})}$

Paso 5.3.3

Reescribe la expresión.

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 - 3}$

Paso 5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 \frac{5 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 - 3}$

Paso 5.4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{5}$ .

$5 \frac{5 + 5 (- \frac{3^{51}}{5^{51}})}{5 \cdot 1 - 3}$

Paso 5.4.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3^{51}}{5^{51}}$ al numerador.

$5 \frac{5 + 5 \frac{- 3^{51}}{5^{51}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Paso 5.4.3.2

Factoriza $5$ de $5^{51}$ .

$5 \frac{5 + 5 \frac{- 3^{51}}{5 \cdot 5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Paso 5.4.3.3

Cancela el factor común.

$5 \frac{5 + 5 \frac{- 3^{51}}{5 \cdot 5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Paso 5.4.3.4

Reescribe la expresión.

$5 \frac{5 + \frac{- 3^{51}}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Paso 5.4.4

Eleva $3$ a la potencia de $51$ .

$5 \frac{5 + \frac{- 1 \cdot 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Paso 5.4.5

Multiplica $- 1$ por $2153693963075560000000000$ .

$5 \frac{5 + \frac{- 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Paso 5.4.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 \frac{5 - \frac{2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Paso 5.4.7

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5^{50}}{5^{50}}$ .

$5 \frac{5 \cdot \frac{5^{50}}{5^{50}} - \frac{2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Paso 5.4.8

Combina $5$ y $\frac{5^{50}}{5^{50}}$ .

$5 \frac{\frac{5 \cdot 5^{50}}{5^{50}} - \frac{2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Paso 5.4.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 \frac{\frac{5 \cdot 5^{50} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Paso 5.4.10

Multiplica $5$ por $5^{50}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.4.10.1

Multiplica $5$ por $5^{50}$ .

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Paso 5.4.10.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $1$ .

$5 \frac{\frac{5^{1} \cdot 5^{50} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Paso 5.4.10.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 \frac{\frac{5^{1 + 50} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Paso 5.4.10.2

Suma $1$ y $50$ .

$5 \frac{\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Paso 5.5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.5.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 \frac{\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 - 3}$

Paso 5.5.2

Resta $3$ de $5$ .

$5 \frac{\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{2}$

Paso 5.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$5 (\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 5.7

Multiplica $\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$5 \frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50} \cdot 2}$

Paso 5.8

Mueve $2$ a la izquierda de $5^{50}$ .

$5 \frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{50}}$

Paso 5.9

Combina $5$ y $\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{50}}$ .

$\frac{5 (5^{51} - 2153693963075560000000000)}{2 \cdot 5^{50}}$

Paso 5.10

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.10.1

Factoriza $5$ de $2 \cdot 5^{50}$ .

$\frac{5 (5^{51} - 2153693963075560000000000)}{5 (2 \cdot 5^{49})}$

Paso 5.10.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (5^{51} - 2153693963075560000000000)}{5 (2 \cdot 5^{49})}$

Paso 5.10.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{49}}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{49}}$

Forma decimal:

$12.49999999 \dots$