Precálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{15} {(\frac{6}{13})}^{n}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{n}$ y $a_{n + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{{(\frac{6}{13})}^{n + 1}}{{(\frac{6}{13})}^{n}}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de ${(\frac{6}{13})}^{n + 1}$ y ${(\frac{6}{13})}^{n}$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza ${(\frac{6}{13})}^{n}$ de ${(\frac{6}{13})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{6}{13})}^{n} \frac{6}{13}}{{(\frac{6}{13})}^{n}}$

Paso 2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{6}{13})}^{n} \frac{6}{13}}{{(\frac{6}{13})}^{n} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(\frac{6}{13})}^{n} \frac{6}{13}}{{(\frac{6}{13})}^{n} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{\frac{6}{13}}{1}$

Paso 2.2.2.4

Divide $\frac{6}{13}$ por $1$ .

$r = \frac{6}{13}$

Paso 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 3.1

Sustituye $1$ por $n$ en ${(\frac{6}{13})}^{n}$ .

$a = {(\frac{6}{13})}^{1}$

Paso 3.2

Simplifica.

$a = \frac{6}{13}$

Paso 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{1 - {(\frac{6}{13})}^{15}}{1 - \frac{6}{13}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $13$ .

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Paso 5.1.1

Multiplica $\frac{1 - {(\frac{6}{13})}^{15}}{1 - \frac{6}{13}}$ por $\frac{13}{13}$ .

$\frac{6}{13} (\frac{13}{13} \cdot \frac{1 - {(\frac{6}{13})}^{15}}{1 - \frac{6}{13}})$

Paso 5.1.2

Combinar.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 (1 - {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 (1 - \frac{6}{13})}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 \cdot 1 + 13 (- {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 \cdot 1 + 13 (- \frac{6}{13})}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $13$ .

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Paso 5.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{6}{13}$ al numerador.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 \cdot 1 + 13 (- {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 \cdot 1 + 13 (\frac{- 6}{13})}$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 \cdot 1 + 13 (- {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 \cdot 1 + 13 (\frac{- 6}{13})}$

Paso 5.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 \cdot 1 + 13 (- {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 \cdot 1 - 6}$

Paso 5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.1

Multiplica $13$ por $1$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + 13 (- {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 \cdot 1 - 6}$

Paso 5.4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{6}{13}$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + 13 (- \frac{6^{15}}{13^{15}})}{13 \cdot 1 - 6}$

Paso 5.4.3

Cancela el factor común de $13$ .

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Paso 5.4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{6^{15}}{13^{15}}$ al numerador.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + 13 \frac{- 6^{15}}{13^{15}}}{13 \cdot 1 - 6}$

Paso 5.4.3.2

Factoriza $13$ de $13^{15}$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + 13 \frac{- 6^{15}}{13 \cdot 13^{14}}}{13 \cdot 1 - 6}$

Paso 5.4.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + 13 \frac{- 6^{15}}{13 \cdot 13^{14}}}{13 \cdot 1 - 6}$

Paso 5.4.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{- 6^{15}}{13^{14}}}{13 \cdot 1 - 6}$

Paso 5.4.4

Eleva $6$ a la potencia de $15$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{- 1 \cdot 470184984576}{13^{14}}}{13 \cdot 1 - 6}$

Paso 5.4.5

Eleva $13$ a la potencia de $14$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{- 1 \cdot 470184984576}{3937376385699290}}{13 \cdot 1 - 6}$

Paso 5.4.6

Multiplica $- 1$ por $470184984576$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{- 470184984576}{3937376385699290}}{13 \cdot 1 - 6}$

Paso 5.4.7

Cancela el factor común de $- 470184984576$ y $3937376385699290$ .

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Paso 5.4.7.1

Factoriza $2$ de $- 470184984576$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{2 (- 235092492288)}{3937376385699290}}{13 \cdot 1 - 6}$

Paso 5.4.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.7.2.1

Factoriza $2$ de $3937376385699290$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{2 \cdot - 235092492288}{2 \cdot 1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Paso 5.4.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{2 \cdot - 235092492288}{2 \cdot 1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Paso 5.4.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{- 235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Paso 5.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 - \frac{235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Paso 5.4.9

Para escribir $13$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1968688192849645}{1968688192849645}$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 \cdot \frac{1968688192849645}{1968688192849645} - \frac{235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Paso 5.4.10

Combina $13$ y $\frac{1968688192849645}{1968688192849645}$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{13 \cdot 1968688192849645}{1968688192849645} - \frac{235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Paso 5.4.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{13 \cdot 1968688192849645 - 235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Paso 5.4.12

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.12.1

Multiplica $13$ por $1968688192849645$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{25592946507045385 - 235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Paso 5.4.12.2

Resta $235092492288$ de $25592946507045385$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{25592711414553097}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Paso 5.5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.5.1

Multiplica $13$ por $1$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{25592711414553097}{1968688192849645}}{13 - 6}$

Paso 5.5.2

Resta $6$ de $13$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{25592711414553097}{1968688192849645}}{7}$

Paso 5.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{6}{13} (\frac{25592711414553097}{1968688192849645} \cdot \frac{1}{7})$

Paso 5.7

Multiplica $\frac{25592711414553097}{1968688192849645} \cdot \frac{1}{7}$ .

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Paso 5.7.1

Multiplica $\frac{25592711414553097}{1968688192849645}$ por $\frac{1}{7}$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{25592711414553097}{1968688192849645 \cdot 7}$

Paso 5.7.2

Multiplica $1968688192849645$ por $7$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{25592711414553097}{13780817349947515}$

Paso 5.8

Multiplica $\frac{6}{13} \cdot \frac{25592711414553097}{13780817349947515}$ .

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Paso 5.8.1

Multiplica $\frac{6}{13}$ por $\frac{25592711414553097}{13780817349947515}$ .

$\frac{6 \cdot 25592711414553097}{13 \cdot 13780817349947515}$

Paso 5.8.2

Multiplica $6$ por $25592711414553097$ .

$\frac{153556268487318582}{13 \cdot 13780817349947515}$

Paso 5.8.3

Multiplica $13$ por $13780817349947515$ .

$\frac{153556268487318582}{179150625549317695}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{153556268487318582}{179150625549317695}$

Forma decimal:

$0.85713498 \dots$