Precálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{120} 4 - \frac{1}{3} n$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Combina $n$ y $\frac{1}{3}$ .

$4 - \frac{n}{3}$

Paso 1.2

Reescribe la suma.

$\sum_{n = 1}^{120} 4 - \frac{n}{3}$

Paso 2

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{n = 1}^{120} 4 - \frac{n}{3} = \sum_{n = 1}^{120} 4 + \sum_{n = 1}^{120} - \frac{n}{3}$

Paso 3

Evalúa $\sum_{n = 1}^{120} 4$ .

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Paso 3.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 3.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(4) (120)$

Paso 3.3

Multiplica $4$ por $120$ .

$480$

Paso 4

Evalúa $\sum_{n = 1}^{120} - \frac{n}{3}$ .

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Paso 4.1

Factoriza $- \frac{1}{3}$ fuera de la suma.

$(- \frac{1}{3}) \sum_{n = 1}^{120} n$

Paso 4.2

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 4.3

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(- \frac{1}{3}) (\frac{120 (120 + 1)}{2})$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.1.1

Suma $120$ y $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{120 \cdot 121}{2}$

Paso 4.4.1.2

Multiplica $120$ por $121$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{14520}{2}$

Paso 4.4.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.4.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3}$ al numerador.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{14520}{2}$

Paso 4.4.2.2

Factoriza $3$ de $14520$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (4840)}{2}$

Paso 4.4.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 4840}{2}$

Paso 4.4.2.4

Reescribe la expresión.

$- 1 (\frac{4840}{2})$

Paso 4.4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.3.1

Divide $4840$ por $2$ .

$- 1 \cdot 2420$

Paso 4.4.3.2

Multiplica $- 1$ por $2420$ .

$- 2420$

Paso 5

Suma los resultados de las sumas.

$480 - 2420$

Paso 6

Resta $2420$ de $480$ .

$- 1940$