Precálculo Ejemplos

$\sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4} + {(- 3)}^{k - 1}$

Paso 1

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4} + {(- 3)}^{k - 1} = \sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4} + \sum_{k = 1}^{11} {(- 3)}^{k - 1}$

Paso 2

Evalúa $\sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4}$ .

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Paso 2.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 2.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(\frac{1}{4}) (11)$

Paso 2.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $11$ .

$\frac{11}{4}$

Paso 3

Evalúa $\sum_{k = 1}^{11} {(- 3)}^{k - 1}$ .

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Paso 3.1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 3.2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ y la simplificación.

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Paso 3.2.1

Sustituye $a_{k}$ y $a_{k + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{k + 1 - 1}}{{(- 3)}^{k - 1}}$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de ${(- 3)}^{k + 1 - 1}$ y ${(- 3)}^{k - 1}$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Factoriza ${(- 3)}^{k - 1}$ de ${(- 3)}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{k - 1} {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 3)}^{k - 1}}$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{k - 1} {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 3)}^{k - 1} \cdot 1}$

Paso 3.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(- 3)}^{k - 1} {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 3)}^{k - 1} \cdot 1}$

Paso 3.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Paso 3.2.2.1.2.4

Divide ${(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}$ por $1$ .

$r = {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}$

Paso 3.2.2.2

Suma $k$ y $0$ .

$r = {(- 3)}^{k - (k - 1)}$

Paso 3.2.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r = {(- 3)}^{k - k - - 1}$

Paso 3.2.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(- 3)}^{k - k + 1}$

Paso 3.2.2.4

Resta $k$ de $k$ .

$r = {(- 3)}^{0 + 1}$

Paso 3.2.2.5

Suma $0$ y $1$ .

$r = {(- 3)}^{1}$

Paso 3.2.2.6

Evalúa el exponente.

$r = - 3$

Paso 3.3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 3.3.1

Sustituye $1$ por $k$ en ${(- 3)}^{k - 1}$ .

$a = {(- 3)}^{1 - 1}$

Paso 3.3.2

Simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$a = {(- 3)}^{0}$

Paso 3.3.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 1$

Paso 3.4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$1 \frac{1 - {(- 3)}^{11}}{1 - - 3}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Multiplica $\frac{1 - {(- 3)}^{11}}{1 - - 3}$ por $1$ .

$\frac{1 - {(- 3)}^{11}}{1 - - 3}$

Paso 3.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $11$ .

$\frac{1 - - 177147}{1 - - 3}$

Paso 3.5.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 177147$ .

$\frac{1 + 177147}{1 - - 3}$

Paso 3.5.2.3

Suma $1$ y $177147$ .

$\frac{177148}{1 - - 3}$

Paso 3.5.3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{177148}{1 + 3}$

Paso 3.5.3.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{177148}{4}$

Paso 3.5.4

Divide $177148$ por $4$ .

$44287$

Paso 4

Suma los resultados de las sumas.

$\frac{11}{4} + 44287$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Para escribir $44287$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{11}{4} + 44287 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 5.2

Combina $44287$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{11}{4} + \frac{44287 \cdot 4}{4}$

Paso 5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{11 + 44287 \cdot 4}{4}$

Paso 5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.1

Multiplica $44287$ por $4$ .

$\frac{11 + 177148}{4}$

Paso 5.4.2

Suma $11$ y $177148$ .

$\frac{177159}{4}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{177159}{4}$

Forma decimal:

$44289.75$

Forma de número mixto:

$44289 \frac{3}{4}$