Precálculo Ejemplos

$\sum_{k = 1}^{100} 9 + {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$

Paso 1

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{k = 1}^{100} 9 + {(\frac{1}{2})}^{k - 1} = \sum_{k = 1}^{100} 9 + \sum_{k = 1}^{100} {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$

Paso 2

Evalúa $\sum_{k = 1}^{100} 9$ .

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Paso 2.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 2.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(9) (100)$

Paso 2.3

Multiplica $9$ por $100$ .

$900$

Paso 3

Evalúa $\sum_{k = 1}^{100} {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ .

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Paso 3.1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 3.2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ y la simplificación.

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Paso 3.2.1

Sustituye $a_{k}$ y $a_{k + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1}}$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de ${(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}$ y ${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Factoriza ${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ de ${(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1}}$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} \cdot 1}$

Paso 3.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} \cdot 1}$

Paso 3.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Paso 3.2.2.1.2.4

Divide ${(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}$ por $1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Paso 3.2.2.2

Suma $k$ y $0$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - (k - 1)}$

Paso 3.2.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - k - - 1}$

Paso 3.2.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - k + 1}$

Paso 3.2.2.4

Resta $k$ de $k$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{0 + 1}$

Paso 3.2.2.5

Suma $0$ y $1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{1}$

Paso 3.2.2.6

Simplifica.

$r = \frac{1}{2}$

Paso 3.3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 3.3.1

Sustituye $1$ por $k$ en ${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ .

$a = {(\frac{1}{2})}^{1 - 1}$

Paso 3.3.2

Simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$a = {(\frac{1}{2})}^{0}$

Paso 3.3.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$a = \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Paso 3.3.2.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = \frac{1}{2^{0}}$

Paso 3.3.2.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Paso 3.3.2.5

Divide $1$ por $1$ .

$a = 1$

Paso 3.4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Multiplica $\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

Paso 3.5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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Paso 3.5.2.1

Multiplica $\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

Paso 3.5.2.2

Combinar.

$\frac{2 (1 - {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 (1 - \frac{1}{2})}$

Paso 3.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{1}{2})}$

Paso 3.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Paso 3.5.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Paso 3.5.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 3.5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.5.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 3.5.5.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 + 2 (- \frac{1^{100}}{2^{100}})}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 3.5.5.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.5.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1^{100}}{2^{100}}$ al numerador.

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2^{100}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 3.5.5.3.2

Factoriza $2$ de $2^{100}$ .

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2 \cdot 2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 3.5.5.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2 \cdot 2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 3.5.5.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{2 + \frac{- 1^{100}}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 3.5.5.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 3.5.5.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 + \frac{- 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 3.5.5.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 3.5.5.7

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$\frac{2 \cdot \frac{2^{99}}{2^{99}} - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 3.5.5.8

Combina $2$ y $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2^{99}}{2^{99}} - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 3.5.5.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 \cdot 2^{99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 3.5.5.10

Multiplica $2$ por $2^{99}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.5.10.1

Multiplica $2$ por $2^{99}$ .

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Paso 3.5.5.10.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{2^{1} \cdot 2^{99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 3.5.5.10.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{2^{1 + 99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 3.5.5.10.2

Suma $1$ y $99$ .

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Paso 3.5.6

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.6.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{2 - 1}$

Paso 3.5.6.2

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{1}$

Paso 3.5.7

Divide $\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$ por $1$ .

$\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

Paso 4

Suma los resultados de las sumas.

$900 + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Para escribir $900$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$900 \cdot \frac{2^{99}}{2^{99}} + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

Paso 5.2

Combina $900$ y $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$\frac{900 \cdot 2^{99}}{2^{99}} + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

Paso 5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{900 \cdot 2^{99} + 2^{100} - 1}{2^{99}}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{900 \cdot 2^{99} + 2^{100} - 1}{2^{99}}$

Forma decimal:

$902$